我们定义x1，x2，...，x_n为点（数字）的序列，[s_i，t_i]为1≤i≤n的n个段的集合。如果s_i≤x_j≤t_i，则点x_j在线段i内。我想找到积分最高的细分。
现在要解决这个问题，我想我们可以根据s对x和间隔进行排序。保留一个单独的数组T，使T [i] =段i中的最大点。将此数组中的所有值初始化为0。然后，对于每个x，检查所有符合约束的间隔，并相应地增加T [i]。
在最坏的情况下，这可能需要O（n ^ 2）。但是我觉得我在这里有很多多余之处。如何提高效率？
答案 0 :(得分：2)
请澄清一下，如果问题是一维的，则X（x_1至x_n）中的点是数字，而线段是间隔。
您可以通过对X进行排序并使用结果索引来轻松解决此问题。通过找到两个相应的索引[s, t]和i，可以有效地计算段j中的点数。查找（使用二进制搜索或最有效的方法）i，使x_i < s <= x_(i+1)，和j，使x_j <= t < x_(j+1)。注意不等式（如果s或t可能在X中）。 [s, t]中的点数等于j-i。
如果s < x_1或t > x_n是可能的，只需在X的两端附加一个点（最小和最大）。
这具有O(n log n)的复杂度，受排序算法限制。如果您可以使用诸如计数排序之类的方法来将值用作数组的索引（或将键作为多集的索引），那么您可以通过做更多的工作来改进它。
让S为包含所有段s的每个t和每个[s, t]的点集。这个想法是为X构建索引数组（有点像用于计数排序）。
首先，以A和A[x in X] = 1的形式构建数组A[x not in X] = 0。然后，再次遍历以构建数组A_less，以使A_less[i]等于所有A[j]与j < i的和。
例如，如果A = [1, 0, 0, 1, 0, 1, 0]，则A_less = [0, 1, 1, 1, 2, 2, 3]。您可以使用一个简单的计数器来构建此数组。
您现在可以直接引用此数组以获取值小于或等于另一个的点数。在前面的示例中，X中显然有三个点，其值分别为0、3和5。通过引用A_less，您可以知道存在A_less[4] = 2个点的值较小等于或等于4。
类似地，构建A_less_equal使得A_less_equal[i]等于所有A[j]与j <= i的总和。使用相同的示例A_less_equal = [1, 1, 1, 2, 2, 3, 3]。
现在，对于任何段[s, t]，您都可以通过计算A_less_equal[t] - A_less[s]获得其包含的点数。所有这些都具有复杂性O(n)。
如果您的点不是整数（至少不容易用作索引），那么您仍然可以使用相同的想法，将数组替换为排序集，其键是X中的每个值或S（您需要在S中添加值才能在末尾查找它们。）