计算圆是否适合多边形（三角形/五边形）的内部（在允许接触多边形的坐标处）？

Question

给出一个圆心为（X _c ，Y _c ）且半径为 r 的圆 以及在数组内部具有顶点的多边形 vertices [] = {（X _v1 ，Y _v1 ），...，（X _vn ，Y _vn ）}，其中n是顶点数。

我想知道圆是否在多边形内。我假设（并且可以假设）多边形中没有孔。

我要检查的唯一多边形将是三角形和五边形。

到目前为止，我所做的就是计算圆的中心是否在多边形内部。此功能称为isInside()。

如何检查圆是否完全在要检查的多边形内？可以的。

更具体地说，我在解决圆与多边形之间关系的数学上遇到麻烦，这对于解决此问题至关重要。我知道如何查找圆的中心是否在多边形内，但是不知道完整的圆是否包含在多边形中。

任何帮助：）

Answer 1

方法1：简单但不精确

您已经实现了一种用于检查点是否在多边形内的算法。那么，为什么不仅仅将一个圆近似为等边多边形呢？您只需要检查圆的16或64或256点即可。

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方法2：更复杂，但精确一些

1. 找到多边形各面的法线向量（可以轻松地计算出它）。
2. 通过此法线向量找到圆心到边的距离（线相交也是一个简单的任务）。
3. 如果距离小于圆的半径，则圆在多边形之外。
4. 否则，如果两边到该点的法线距离均大于或等于圆的半径，则该圆在内部。

Answer 2

以下内容假设您已经知道the center of the circle is inside the polygon。您需要检查一些定义，因为定义触摸顶点可以会添加一些边角。此解决方案也适用于凹面多边形。

提早检查

要使圆完全位于多边形的内部，我们需要所有边都在圆的外部。特别是，这可以确保多边形不在圆内。

给出半径为 r 并以 c 为中心的圆和边缘 e ₀ ，e ₁ ，...，e _n 的多边形的必要条件是，对于所有 i ：

  

d （c，e _i ）> = r

其中 d 是euclidian distance。

如果以上内容对任何边缘均不成立，则说明多边形与圆之间存在相交，或者多边形本身完全位于圆内。

圆是否与多边形相交

最后一个检查是使圆位于内部的必要条件，尽管这还不够，因为可能所有边缘都在圆的外部，但是圆仍然从顶点泄漏。

让我们首先记住我们需要的一些公式。

以（x ₀ ，y ₀ ）为中心的半径 r 圆的方程： >

  

（x-x ₀ ） ² +（y-y ₀ ） ² = r ²

因此，通过求解，可以找到与线 y = ax + b 的交点：

  

（x-x ₀ ） ² +（ax + b-y ₀ ） ² = r ²

这不过是一个二次方程式，可以重写为：

  

（a ² + 1）x ² +（2ab-2ay ₀ -2x ₀ ）x +（x ₀ +（b-y ₀ ） ² -r ² ）= 0

您可以使用quadratic formula来解决每个顶点。然后，您就有三种可能性。

1）没有解决办法

这表明该顶点不存在交集。使用高级语言，您可以捕获一些MathError异常来进行检测。否则，您可以在数学上检查discriminant的符号，如果它是负数，则会发生这种情况。

  

（2ab-2ay ₀ -2x ₀ ） ² -4（a ² + 1）（ x ₀ +（b-y ₀ ） ² -r ² ）<0

2）有一个独特的解决方案

如果方程式有一个解，即两个解都相同，则圆可能会碰到，但不会漏出边缘。您说您的情况仍然认为该对象位于多边形的内部。

从数学上讲，当判别为零时会发生这种情况。

  

（2ab-2ay ₀ -2x ₀ ） ² -4（a ² + 1）（ x ₀ +（b-y ₀ ） ² -r ² ）= 0

3）存在两种解决方案

如果存在两个解决方案，例如 x _i 和 x _j ，则可能存在是重叠。虽然，对于凹面多边形并不确定。

要检查是否确实存在重叠，必须检查相交是否发生在线段上。

这很简单。假设您的顶点位于（x ₁ ，y ₁ ）和（x ₂ y ₂ ），那么如果只有...，则存在交点。

  

x ₁ i 2

或...

  

x ₁ j 2

在任何其他情况下，交点都发生在顶点的延续上，而不是顶点本身上。

如果以上条件之一成立，那么只有到那时，您才知道您的圆漏到多边形之外。

最终角套：凹形边缘

仍然需要掩盖一个角落。如前所述，触摸多边形是可以的，因此有一个以上未涵盖的最终角箱：触摸凹边。

凹边缘是指内角大于180°的边缘。因此，只要与多边形存在相交，如果相交发生在凹面的边缘上，就可以忽略它。

以上所有方法均可用于任何多边形，不仅适用于三角形和六边形。