如何证明关系属性对于该关系的传递关闭成立？

Question

我定义了以下关系属性：

definition rel_limited_under :: "('a ⇒ 'a ⇒ bool) ⇒ 'a set ⇒ bool" where
  "rel_limited_under R A = 
   (∀x y z :: 'a. R x y ⟶ R y z ⟶ x ∈ A ⟶ z ∈ A ⟶ y ∈ A)"

如果集合中的任何两个元素R和A只能通过元素x进行关联，则关系z限于集合y中属于这个集合。换句话说，集合A中的元素不能通过不属于该集合的元素进行关联。

您知道此属性的通用名称吗？我认为这是图论的东西。

您能否提出建议，以证明该财产对某项关系的传递性关闭有效？

lemma rel_tcl_limited_under:
  fixes R :: "'a ⇒ 'a ⇒ bool"
    and A :: "'a set"
  assumes as_R: "rel_limited_under R A"
  shows "rel_limited_under R⇧+⇧+ A"

Answer 1

我可以告诉您，您无法在伊莎贝尔（Isabelle）证明财产rel_tcl_limited_under，因为它不成立。作为反例，请考虑A = {0}和R = {(0,1), (1,2), (2,0)}。然后，由于没有rel_limited_under R A这样的x, y, z，因此R x y /\ R y z /\ x ∈ A /\ z ∈ A变得很容易满足。但是rel_limited_under (R^+) A不成立：选择x = 0, y = 1, z = 0。