Question

此函数（f1）的时间复杂度是多少？

我可以看到第一个循环（i = 0）->（n / 4次）第二个循环（i = 3）->（n / 4-3次）...等等，结果是：（n / 3）*（n / 4 +（n-3）/ 4 +（n-6）/ 4 +（n-9）/ 4 ....

我在这里停下来，如何继续？

int f1(int n){
  int s=0;
  for(int i=0; i<n; i+=3)
    for (int j=n; j>i; j-=4)
      s+=j+i;
  return s;
}

Answer 1

Big（O）表示法的重要之处在于它消除了“常量”。目的是随着输入量的增长确定趋势，而不必担心特定数字。

将其视为在不知道x轴和y轴的数字范围的图形上确定曲线。

因此，在您的代码中，即使您为每个循环的每次迭代都跳过n范围内的大多数值，这也是以恒定的速率完成的。因此，无论您实际上跳过了多少，这仍然相对于n^2进行缩放。

计算以下任何内容都没关系：

1/4 * n^2
0.0000001 * n^2
(1/4 * n)^2
(0.0000001 * n)^2
1000000 + n^2
n^2 + 10000000 * n

在Big O中，这些都等效于O(n^2)。关键是一旦n变得足够大（无论可能是多少），所有低阶项和常数因子在“全局”中都将变得无关紧要。

（值得强调的是，这就是为什么在小投入时您应该警惕过分依赖Big O的原因。那时候恒定的间接费用仍然会产生很大的影响。）

Answer 2

关键观察：内部循环在步骤(n-i)/4中执行i次，因此在步骤i/4中执行n-i。

现在将i = 3k, 3(k-1), 3(k-2), ..., 9, 6, 3, 0的所有这些数量相加，其中3k是3之前n（即3k <= n < 3(k+1)）的最大倍数：

3k/4 + 3(k-1)/4 + ... + 6/4 + 3/4 + 0/4 = 3/4(k + (k-1) + ... + 2 + 1)
                                        = 3/4(k(k+1))/2
                                        = O(k^2)
                                        = O(n^2)

因为k <= n/3 <= k+1，因此还有k^2 <= n^2/9 <= (k+1)^2 <= 4k^2

Answer 3

理论上是“ O（n * n）”，但是...

如果编译器想对其进行优化，该怎么办？

String.join(DELIMITER,
    SET1.contains(event) ? VALUE1 : SKIP,
    SET2.contains(event) ? VALUE2 : SKIP,
    SET3.contains(event) ? VALUE3 : SKIP,
    SET4.contains(event) ? VALUE4 : SKIP
);

甚至是这样：

int f1(int n){
  int s=0;
  for(int i=0; i<n; i+=3)
    s += table[i];
  return s;
}

然后它也可以是“ O（n）”或“ O（1）”。

请注意，从表面上看，这种优化似乎是不切实际的（由于最坏情况下的内存成本）；但是使用足够先进的编译器（例如，使用“整个程序优化”来检查所有调用者，并确定int f1(int n){ if(n <= 0) return 0; return table[n]; }始终在某个范围内），这是不可想象的。以类似的方式，并非所有调用方都使用常量（例如，使用足够先进的编译器可以将n之类的内容替换为x = f1(123);）。

换句话说；实际上，原始函数的时间复杂度取决于该函数的使用方式以及编译器的优劣。

这个特定函数的时间复杂度\ big（O）是多少？

3 个答案: