Question

我创建了一个给出第n个加泰罗尼亚数字的C程序，到目前为止一切正常。在这里：

#include <stdio.h>

int catalan(int);

main()
{
    int number, catalannumber;

    printf("This is a program to find a given catalan number.\nIntroduce your desired number: ");
    scanf("%d", &number);

    while (number < 1)
    {
        printf("Number must be greater or equal to 1. Reintroduce: ");
        scanf("%d", &number);
    }

    catalannumber = catalan (number);

    printf("The %dth number corresponds to %d.\n", number, catalannumber);
}

int catalan(int n) {
  if (n == 1)
    return 1; 
  else
    return 2 * (2*n - 1) * catalan(n-1) / (n+1);
}

然后我发现了这个“经典”山脉问题，所有可能的山脉如图所示： http://www.maths.usyd.edu.au/u/kooc/catalan/cat3moun.pdf

这是n的较小值的“山脉范围”的样子 source

我的目标是能够创建一个程序，该程序：

给他们编号后，您就可以选择“山顶”的数量（<= number）
该程序将计算（给定数量的）多少个不同的山脉具有该数量的山顶。

通过pdf文件，我知道：

数量n = 3且“山顶” = 2->有3个（总共5个）山脉与2个山顶（两个不同的山脉“类型”）。
数量n = 4和“山顶” = 3-> 6个不同的山脉。

我的问题是，完成这项工作的最佳方法是什么？有什么公式吗？我曾考虑过Pascal Triangle和Fibonacci系列，但之间没有任何关系。我想知道什么是可能的解决方案。任何帮助将不胜感激。谢谢。

Answer 1

让我们首先看看暴力破解方法。

加泰罗尼亚语编号 c _n 是人们可以组合 n 上击（╱）和 n 的方式的数量向下移动（╲），而不会超出地平线。根据定义， c _n =（n + 2）/ 2·（n + 3）/ 3·...（n + n）/ n。

我们可以使用无符号2 n 位整数来描述每个组合。（但是，并非所有2 n 位无符号整数值都描述有效的组合。）如果我们将非零或置位的比特视为上冲程，而将零比特的比特视为下冲程，则每当下冲程发生时，就会出现峰值中风。（当下行然后是上行时，您将看到一个山谷。）

（请注意，并非所有无符号的2 n 位整数值都描述了有效的组合。要有效，第一位必须是向上笔划，并且必须精确地是 n 上冲。）

因此，首先编写一个函数，该函数可以计算由无符号整数描述的一个组合中的峰数。（请注意，由于每个描述组合的无符号整数都已精确地设置了 n 个位，因此我们无需显式传递 n ，而只需传递描述组合的无符号整数。）例如，

unsigned int  peaks(unsigned int  description)
{
    unsigned int  count = 0;

    while (description) {
        count += ((description & 3) == 1);
        description >>= 1;
    }

    return count;
}

以上，从最低有效位开始读取组合。（并且因为必须将山脉设置为可能超出地平线，所以没有偶数描述组合。）表达式(description & 3)隔离了最后两个有效位。四种可能的情况分别以数值递增的顺序对应于双下坡，峰，谷和双上坡。峰值情况对应于值1（二进制形式为01 _b：向上笔划，然后向下笔划，以从右到左的重要性递增的顺序读取数字）。在C语言中，逻辑 False 的值为零，而逻辑 True 的值为1，因此在上述循环中，我们得到了设置位为接着（在较高位置）清楚一点。

Value  Mountains       n   Peaks
    1   ╱╲             1     1
    3   ╱╱╲╲           2     1
    5   ╱╲╱╲           2     2
    7   ╱╱╱╲╲╲         3     1
    9   ╱╲╲╱         Not a valid combination
   11   ╱╱╲╱╲╲         3     2
   13   ╱╲╱╱╲╲         3     2
   15   ╱╱╱╱╲╲╲╲       4     1
   17   ╱╲╲╲╱        Not a valid combination
   19   ╱╱╲╲╱╲         3     2
   21   ╱╲╱╲╱╲         3     3
   23   ╱╱╱╲╱╲╲╲       4     2
   25   ╱╲╲╱╱╲       Not a valid combination
   27   ╱╱╲╱╱╲╲╲       4     2
   29   ╱╲╱╱╱╲╲╲       4     2
   31   ╱╱╱╱╱╲╲╲╲╲     5     1
   33   ╱╲╲╲╲╱       Not a valid combination
   35   ╱╱╲╲╲╱       Not a valid combination
   37   ╱╲╱╲╲╱       Not a valid combination
   39   ╱╱╱╲╲╱╲╲       4     2

接下来，创建一个函数，该函数生成所有无符号整数值，这些整数值描述特定 n 的有效组合，并对对应于特定数量峰的计数进行计数。

一种暴力方式是编写峰值计数函数，以便对所有无效组合都返回0。例如：

static unsigned int  peaks(unsigned int  description)
{
    unsigned int  count = 0;
    int           height = 0;

    /* Description must start with an upstroke. */
    if (!(description & 1))
        return 0;

    while (description) {
        switch (description & 3) {
        case 0: /* Downslope; next is downslope. */
            if (--height < 0)
                return 0;
            break;

        case 1: /* Upslope; next is downslope. */
            count++;
            height++;
            break;

        case 2: /* Downslope; next is upslope. */
            if (--height < 0)
                return 0;
            break;

        default: /* 3: Upslope; next is upslope. */
            height++;

        }

        description >>= 1;
    }

    return count;
}

描述对应的 n （如果peak(description) > 0）是描述中设置的位数。算是一个漂亮的技巧

unsigned int  popcount(unsigned int  value)
{
    unsigned int  count = 0;
    while (value) {
        value &= value - 1;
        count++;
    }
    return count;
}

使用这两个函数，可以通过探索所有2 n 位无符号整数（从0到{ {1}}（含）。

为获得更好的方法，让我们检查每个 n 的峰数：

(1 << (2*n)) - 1

换句话说， n = 6具有132个有效组合。其中，一个带有一个峰，一个带有两个峰，15个带有三个峰，50个带有四个峰，一个带有六个峰。

如果我们只为峰计数形成整数序列，则可以将上面的表达式表示为

n Combs   Occurrences*Peaks
0    1     1*0
1    1     1*1
2    2     1*1,  1*2
3    5     1*1,  3*2,  1*3
4   14     1*1,  6*2,  6*3,  1*4
5   42     1*1, 10*2, 20*3, 10*4,  1*5
6  132     1*1, 15*2, 50*3, 50*4, 15*5, 1*6

依此类推，依次以1，21，105，175，105，21，1表示 n = 7，并以1，28，196，490，490，196，28， 1表示 n = 8，依此类推。

如果我们对该序列进行OEIS搜索，我们会发现这些实际上称为Narayana数字 T （ n ， k ），整个整数序列为OEIS A001263。

（注意：我不知道是这样！我所知道的一切我都可以使用OEIS来找出序列是否已知，通常是这样。换句话说，我不仅向您展示了答案，这个特殊的问题，但是从蛮力数值方法开始，我如何有效地找到这种问题的解决方案（如果我可以这么说的话）。）

因此，数学答案是Narayana number T （ n ， k ）告诉您不同山脉的数量对应于加泰罗尼亚语编号 c _n ，具有恰好 k 个峰值。

如果将binomial coefficient实现为函数1, 1, 1, 1, 3, 1 1, 6, 6, 1, 1, 10, 20, 10, 1, 1, 15, 50, 50, 15, 1,，则答案是binomial(n, k)。

但是请注意，您可以更有效地实现T(n, k) = binomial(n, k) * binomial(n, k - 1) / n作为术语乘积之间的划分（即，使用两个术语数组，并使用greatest common divisor消除通用术语和术语乘积辅助功能，由于术语取消而没有精度问题。）

C编程数字和山脉

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