简单的2d多边形三角剖分

Question

尝试对一组简单的2d多边形进行三角测量，我想出了这个算法：

• 1）对于多边形中的每个顶点，计算两个链接边之间的角度
• 2）通过相对于多边形内部的角度减小来对顶点进行排序
• 3）如果集合中的顶点少于3个，我们就完成了
• 4）取出集合中的最后一个顶点并输出由它和它的两个邻居
形成的三角形
• 5）从集合中删除顶点
• 6）更新两个邻居的角度
• 7）跳到2

我已经对它进行了测试，并发现即使在非常大而复杂的简单的2d多边形上也能工作（它不适用于带有孔或自相交多边形的多边形）。

是否存在会产生退化结果的极端情况？

这个算法是否已知？

如果没有，我想确定这个算法是坚如磐石的，但我没有数学背景来证明它。

非常感谢。

Answer 1

您正在进行三角测量的“耳剪裁”方法，请参阅：http://en.wikipedia.org/wiki/Polygon_triangulation

如果另一个多边形顶点（例如从多边形的另一侧）最终在您形成的三角形“耳朵”内，则算法会失败。考虑这个例子：

您的算法将首先选择A，并使用两条相邻边（与虚线连接）形成三角形。但是这个三角形包括另一个顶点（B），显然是不正确的。

广义的耳朵剪切方法取决于找到没有任何包含顶点的剪切耳朵。

Answer 2

简单凸多边形是O（n）

这是您想要处理矩形，五边形，六边形等简单多边形的时候。在这里，您只需要一个起点并将其连接到所有其他顶点。这个算法很简单，我真正想要的是一个更通用的解决方案，可以处理带孔的凹面和多边形。

为了处理像Payne提供的更复杂的多边形......

O（n log n）

中的任意多边形到三角形

虽然算法运行速度更快，但更快的算法变得非常复杂。 {（3}}在O（n log log n）中运行，Kirkpatrick et al. found an algorithm在O（n）中运行。但是，最容易实现的可能是在{（n log n）中运行的Chazelle。

该算法分为3个步骤

1. 将多边形分解为梯形
2. 将梯形分解为Seidel algorithm
3. 将单调多边形分解为三角形

C源

如果您对C源感兴趣，可以从monotone polygons获取。一般来说，代码质量很好，处理漏洞，但可能需要按摩您的需求。

Answer 3

如果我正确地理解你，你就会从最小的内角开始切掉三角形。如果多边形不是凸面，则可能会失败。在（0,0）（10,9）（9,9）（9,10）处考虑具有顶点（按顺序）的多边形。最小的角度是原点的角度，但你不能安全地切掉那个三角形。

（如果您的多边形是凸面，那么您可以选择任何顶点，在那里删除一个三角形，然后重复。所以我猜你希望你的算法即使对于非凸多边形也能工作。）

Answer 4

我之前必须解决类似的问题，结果代码可能对您或其他人有用：

演示：http://cecchi.me/portfolio/triangulation
资料来源：http://cecchi.me/js/point-picking.js.src

源码有点笨拙以允许更容易的动画，但你应该能够看到我如何解决Payne用凸多边形指出的问题（相关代码从第200行开始）。请注意，我的解决方案仍然不允许复杂的多边形。

Answer 5

虽然耳朵剪辑效果相当好，但由于多边形的复杂性增加，简化方法会减慢，因为在折叠每个耳朵时检查整个多边形变得越来越慢。

来自libgdx的耳剪算法是一个很好的起点，因为它非常强大 - 使用FIST （多边形的快速工业强度三角剖分）。

我将此作为多边形细分的基础，然后为三角形测试添加了空间优化（O(n log n)而不是O(n^2)）。

见：

• C code，tests。
• Rust code，tests
• Original code from libgdx。

注意，虽然算法没有明确支持漏洞，但您可以在不同的孤岛之间使用 keyhole 边缘，然后将其正确地进行三角剖分。