关于T（n）的上下界

Question

• T（n）= 27T（n / 3）+ n ^ 2。

我刚刚解决了这个问题，并通过使用递归树方法发现答案是Θ（n ^ 3）。我想知道递归树是否平衡，是否意味着T（n）的O和Ω也等于n ^ 3？如果没有，我如何知道上述问题的上限和下限？

Answer 1

认识到

以您的示例为例，这意味着和都成立。

为了直观起见，您可以进行以下关联：

  

很显然，。将其反映到渐近边界的象征意义上，然后您得到第一个等效项。

现在，让我们正式表明，没有比更严格的上限了。
假设有一个比（即）更紧密的渐近上限。但是，从上面的等价我们已经知道也成立。 ，因此没有两个边界都成立的功能，因此与假设相矛盾。
对于来说，参数是相似的。

我们得出结论，和都渐近紧。

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请注意，您必须区分紧边界和正边界。为了您的复发，也是一个上限。不过，它不是渐近严格的。出于这个原因，找到重复的“上下”界限在技术上是无稽之谈。