剪切catmull-rom花键的算法？

Question

我有一个带6个CV的catmull-rom样条，并想沿样条的任意点剪切它。

如何计算两个新样条曲线的端点，以使它们保持原来的形状，将它们切成两半？

所以，想象一下这是6点样条：

p0      p2      p4
 \     / \     / \
  \   /   \C  /   \
   \ /     \ /     \
    p1      p3      p5

如果我想在C点处剪切此样条线，那么我将有两个新的样条线，我猜每个样条线5个CV？

Spline #1: p0, p1, p2, X, C
Spline #2: C, X, p3, p4, p5

其中X是我需要添加的CV，以保持样条曲线的形状。但是，如何计算X所需的位置？

或者我的逻辑是完全错误的，对于这个问题有完全不同的解决方案吗？

谢谢！

Answer 1

Catmull-Rom样条线实质上是由多个三次Bezier曲线组成的样条线。因此，如果要在任何参数t处对其进行除法，则只需找出该参数位于哪个Bezier曲线上，然后使用著名的De Casteljau算法对该Bezier曲线进行除法即可。除法后的结果仍然是三次贝塞尔曲线。但是，如果要查找新的CV集，从中导出的Catmull-Rom样条曲线将具有与原始样条曲线的分割样条曲线完全相同的形状，我会说这是不可能的。我将在下面详细解释。

根据Catmull-Rom样条的定义，由6个CV：p0，p1，...，p5定义的原始样条将在p2处沿向量（p1，p3）切线。对于由5个CV定义的新Catmull-Rom样条曲线：p0，p1，p2，X和C，其中C是原始CR样条曲线上的任何点，则p2处的切线将朝向vector（p1，X）方向。

如果我们希望新的CR样条曲线精确地表示原始样条曲线的分割样条＃1，则这两个样条线在p2处的切线至少应在同一方向上，这意味着点X应该位于该线上由p1和p3定义。此条件使新的Catmull-Rom样条无法准确表示原始样条中的＃1样条的形状。