Question

几天前，我遇到了编程挑战，现在已经结束了。这个问题说，给定一个小写英文字母的字符串S，找到需要在字符串S中更改的最少字符数，以便它在S中包含给定的单词W作为子字符串。

也在下一行中，以升序打印需要更改的字符的位置。由于可以有多个输出，因此找到第一个字符更改最少的位置。

我尝试使用LCS，但只能获取需要更改的字符数。如何找到角色的位置？我可能缺少一些东西，请帮忙。可能还有其他算法可以解决它。

Answer 1

显而易见的解决方案是将参考词W移到输入字符串S上并计算差值。但是，这对于很长的字符串将变得无效。那么，我们该如何改善呢？

这个想法是将搜索目标定位在S很有可能与W匹配的地方。找到这些斑点是关键部分。如果不执行朴素算法，我们将无法高效，准确地找到它们。因此，我们使用一种启发式H，它为我们必须执行的更改数量提供了一个下限。我们为S的每个位置计算此下限。然后，我们从最低H的位置开始，并检查该位置S和W的实际差异。如果下一个更高的H高于当前差异，则我们已经完成。如果不是，我们检查下一个位置。该算法的概述如下：

input:
    W of length LW
    S of length LS

H := list of length LS - LW + 1 with tuples [index, mincost]
for i from 0 to LS - LW
    H(i) = [i, calculate Heuristic for S[i .. i + LW]]
order H by mincost
actualcost = infinity
nextEntryInH = 0
while actualcost >= H[nextEntryInH].minCost && nextEntryInH < length(H)
    calculate actual cost for S[H[nextEntryInH].index .. + LW]
    update actualcost if we found a lesser cost or equal cost with an earlier difference
    nextEntryInH++

现在，回到启发式方法。我们需要找到一些东西，使我们能够近似给定位置的差异（并且我们需要保证它是一个下限），同时又易于计算。由于我们的字母是有限的，因此我们可以使用字母的直方图来执行此操作。因此，让我们以注释为例：W = worldcup，而我们感兴趣的S部分是worstcap。这两个部分的直方图是（省略不出现的字母）：

         a c d l o p r s t u w
worldcup 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1  
worstcap 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 
------------------------------
abs diff 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0  (sum = 6)

我们可以看到，绝对差之和的一半是我们需要更改的字母数的适当下限（因为每个字母的更改都会使和减少2）。在这种情况下，由于总和等于实际成本，因此边界甚至很紧。但是，我们的启发式方法不考虑字母顺序。但是最后，这就是使它可以有效计算的原因。

好吧，我们的启发式方法是直方图的绝对差之和。现在，我们如何有效地计算呢？幸运的是，我们可以逐步计算直方图和总和。我们从位置0开始，计算完整的直方图和绝对差之和（请注意，W的直方图在整个运行时的其余部分将永远不会改变）。有了这些信息，我们就可以设置H(0)。

要计算H的其余部分，请在S上滑动窗口。当我们将窗口向右滑动一个字母时，我们只需要更新直方图并稍微求和即可：窗口中正好有一个新字母（添加到直方图中），一个字母离开窗口（从直方图中删除）。对于两个（或一个）对应的字母，计算绝对差之和的结果变化并对其进行更新。然后，相应地设置H。

使用这种方法，我们可以计算整个字符串S在线性时间内的启发式。启发式方法为我们指明了在哪里寻找匹配项。一旦有了它，我们将继续执行此答案开头概述的其余算法（在启发式较低的地方开始准确的成本计算，并继续进行，直到实际成本超过下一个更高的启发式值为止。）

Answer 2

LCS（=最长公共子序列）将不起作用，因为W和S中的公共字母需要具有匹配的位置。由于只允许您进行更新，而不能删除/插入。

如果允许您删除/插入，则可以使用Levenshtein距离： https://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance

在您的情况下，一个明显的蛮力解决方案是在每个位置将W与S匹配，复杂度为O（N * M）（S的N大小，W的M大小）

字符串S中需要更改的最少字符数的算法

2 个答案: