要插入字符串以将其转换为回文的最小字符数

Question

我需要找到将字符串转换为回文所需的最小插入次数。注意：插入可以发生在任何地方，结尾或内部。如果它只是在最后，我们有一个问题here。

所以我发现这可以通过这个简单的技巧在O(N**2)时间内完成：

1. 让字符串为s1。扭转它。让它成为s2。假设长度为l。
2. 现在找到s1和s2最长的公共子序列。让它的长度为x。
3. 答案是l-x。

例如，假设s1 = abcda。因此s2 = adcba。长度为5.最长公共子序列为长度为3的aba。因此，最小插入次数为5-3 = 2，这是实际答案，结果字符串为a { {1}} dc。

然而，我无法理解它背后的逻辑。任何人都可以向我解释它为什么有效吗？

并且，有没有bcda解决方案？

Answer 1

我不知道是否有O(N)解决方案，但通过与反向比较，您会找到一个回文序列。然后你有l-x个没有配对的字母。 （如果你在镜子的中间有一面镜子，你可以考虑使用一个字母对作为它的反射。例如ab | ba）稍后，通过插入，你只需完成图片。

现在，首先，我们如何找到两个字符串共有的（最大）子序列？有一个多项式算法可以在这里找到它 https://en.wikipedia.org/wiki/Longest_common_subsequence_problem

当我们试图找到s1和s2之间最长的公共子序列（lcs）（s1的反向）时，我们实际上在s1的前半部分和上半部分s2之间找到lcs，也是s1的后半部分和s2的后半部分。 假设

s1 = abcddzac

所以s2 = cazddcba。在这里，我们可以将其视为abcd与cazd（上半部分）的比较，再加上dzac与dcba（后半部分）的比较。我们可以看到两个比较都是相同的，除非它们相互反转，因此它们的连接必须是回文，所以l1和s2必须是回文。

一旦我们得到长度为4的lcs（ad|da），我们就会有4个字母打破对称性（b，c，z，c）。然后我们为它们中的每一个插入一个字母以形成对称，即回文。我们将中间点设置为lcs的中间点，并考虑我们将s1从中间点分成两个，所以我们有

s1 = a bc d|d z a c我们将它从d | d中分成两个，我们最终得到：
d {Ž{1}}℃
a {CB {1}}

现在我们只需在lcs的字母之间填充它们就可以了。在我们的案例中，步骤如下：

d {Ž{1}}℃
a {CB {1}}

d {Ž{1}}℃
a {ZCB {1}}

d {ZC {1}}℃
a {ZCB {1}}

d {ZCB {1}}℃
a {ZCB {1}}

d {ZCB {1}}℃
a {ZCB {1}}℃


现在我们从同一点开始它，我们有 c d bcz a zcb d c这是一个回文。

注意：cddc也是一个ldc但不会改变步数。