找到要添加到字符串中的最小字符数，使其成为回文

Question

这是一个来自spoj的问题。 AIBOHP

字符可以添加到字符串中的任何位置 我读到的最简单的解决方案如下：
找到字符串的最长公共子序列，它是相反的。那么答案是（字符串的长度 - 两个字符串的LCS）。这种看起来很直观，但我很难证明这一点。如果这个问题看起来很愚蠢，我很抱歉，有人可以清楚地解释为什么这种方法总能奏效。

注意：Stack Overflow上有时会询问与此问题相关的问题，但这些问题似乎都没有回答我的问题。 这个问题并不重复，在this问题中，一个答案说明了这种方法，但没有给出直觉或证据，这正是我所要求的。我知道如何解决它，我问为什么这个方法有效。

Answer 1

让我们意识到你的LCS只不过是原始输入的最长子回文（不必连续）。如果x是最长子回文中包含的不的字母数，您可以轻松地将2x添加到该子回文以使其包含您的原始输入并保持回文。

将berries一词写成bERRiEs，标记最长子回文的大写字母为ERRE。从中间开始，为原始单词中的每个小写字母添加2个字母：ERRE -> EiRRiE -> bEiRRiEb -> sbEiRRiEbs然后就可以了。

另一方面，这无法改善。考虑您已将y个字符添加到输入中以使其成为回文。删除2y个字符（添加的字符及其镜像）以获得输入序列的子回文 - 这显然不能大于最长的子回文，因此您至少添加了缺少字符的数量。最长的副回文。

Answer 2

您可以使用以下算法使用n个插入将字符串更改为回文结构，其中n是字符串长度与其LCS长度之间的差异：

1. 查找字符串的LCS及其反向。将LCS的字符放入堆栈lcs
2. 将palindrome设置为原始字符串
3. 将s设置为空字符串。将i设为0。
4. 沿着反向弦走。对于反向字符串中的每个字符c：
   1. 如果lcs的顶部与c匹配：
      1. Pop lcs
      2. 在s字符
      之后将palindrome插入i
      3. 将s设置为空字符串
      4. 将i设置为原始字符串c。
      中的位置
   2. 否则，将c追加到s

由于反向字符串中的字符仅添加到s，随后进入最终的回文，如果它不在LCS中，则插入的字符总数是反向字符串的长度减去LCS的长度。

这是一个例子。给定字符串thisisatest，反之为字符串tsetasisiht。 LCS是t-isi-t。

      t h  isi sates t
^ tse t as isi h     t
      _    ___       _
=     t    isi       t

反向字符串的“缺失”子序列为tse，as和h：

  tse t as isi h t
-     t    isi   t
  ___   __     _
= tse   as     h

请注意，这些缺失子序列中的字符总数是原始字符串的长度减去LCS的长度，表明您感兴趣的声明。

在字符串开头后插入tse，as之后t和h之后插入isi，如下所示：

      t   h  isi  sates t
+ tse   as       h      
  ___ _ ___  ___ ______ _
= tse t ash  isi hsates t

我们获得了回文tsetashisihsatest。