Question

我有一个Nurbs曲线（Ctrl点，结矢量，权重和3或4度）。我可以使用参数t [0，1]沿曲线采样来计算长度。计算沿曲线的距离之和得出曲线的近似长度。

有没有更好的方法来计算曲线的长度？
线性采样：我想对曲线进行线性采样，以使第一个采样t = t0 = 0到t = t1之间的距离为S1，而最后一个采样n n-1到tn = 1之间的距离为S2，并且所有介于两者之间的样本具有从S1到S2线性内插的长度。

S1和S2是固定的。

Answer 1

曲线长度遵循方程式

ds / dt = √(x'²(t) + y'²(t))

其中s是曲线横坐标，t曲线参数及其导数取自t。

您愿意做的事情就是构造函数t(s)并强加s的值。编写微分方程即可方便地完成

dt / ds = 1 / √(x'²(t) + y'²(t))

并进行数字积分，例如与Runge-Kutta。

Answer 2

是的。像样一样采样而不是成对采样，而是按三重点进行工作，将它们解释为通过这三个点的弧。

在相同采样点间距的情况下，与直线段相比，您得到的逼近误差要小得多。

Answer 3

要计算参数化曲线的长度c（u）=（x（u），y（u）），可以使用通用公式。

您明确知道x（u）和y（u），因为

我相信您具有有理基础函数的导数公式。因此，您有x'（u）和y'（u）。然后，您既可以使用辛普森规则进行积分，也可以使用高斯点专门进行积分，以对有理多项式进行积分，或者更好地使用您喜欢的符号演算工具（槭树，wolfram等）来精确计算积分。