前言

Question

我最近开始研究Lambda微积分作为分配的一部分，我的任务是为逻辑运算符>编写一个函数，我们使用的语法与this video中所示的语法相同。允许我们使用基本的数学运算（+，-，/，*）和equals运算符（=），如下所示：

λx.λy.(x - y)
λx.λy.(x = y) TRUE FALSE

我发现this website用小于或等于0并将其与零进行比较来解释它，问题在于负数也不同于零。

有没有办法编写像这样的GT运算符一样工作的Lambda Calculus函数？

我尝试将第二个数字减去第一个数字，然后以某种方式将结果除以自身，这样如果1可以得到>，如果-1可以得到<但是我总是以<和>对数字为负或正。

Answer 1

我能想到的最好的方法是只使用非负整数，或者允许平方根运算符。

不带负整数

如果您没有使用负数，则可以使用递归（使用Y组合器）对以下函数建模（使用Python语法）：

def lt(x, y):
  if y == 0:
    return False
  elif x == 0:
    return y != 0
  else:
    return lt(x - 1, y - 1)

由于这还不错，我让您自己弄清楚Y组合器的应用。如果有任何问题，请随时发表评论。

如果您有负数，我能想到的最好的就是这个。我不会使用lambda微积分符号，因此您可以自己转换这些符号：

ABS(x) = if (x == 0) then 0 else sqrt(x * x)
SIGN(x) = ABS(x) / (x + (x == 0))
LT(x, y) = (-1 == SIGN(x - y))

注意：我很自由地让布尔表达式返回整数1或0而不是函数TRUE或FALSE ，如您发布的Collected Lambdas链接中所示。如果存在问题，则可以编写将TRUE映射到1并将FALSE映射到0的函数。

如果仅查看LT的最后一个等式，那么很清楚它为什么起作用。您首先计算x - y。然后，使用该表达式的符号。如果x - y -1为真，则x < y的符号。

对SIGN的解释是，当x == 0时，我们将得到表达式0/1，这是正确的。如果为x != 0，则将有|x|/x，根据-1的符号，它们将是1或x。