Question

我需要的是两个矢量Va和Vb之间的有符号旋转角度，它们位于同一个3D平面内且具有相同的原点，知道：

两个矢量的平面是任意的，与XY或任何其他基本平面不平行
Vn - 平面正常
两个向量与法线具有相同的原点O = {0,0,0}
Va - 是在Vn

角度应该以这样的方式测量，因此如果平面是XY平面，Va将代表它的X轴单位矢量。

我想我应该通过使用Va作为X轴并将Vb和Vn的叉积作为Y轴来执行一种坐标空间变换，然后使用像atan2（）之类的一些2d方法。有任何想法吗？公式？

Answer 1

使用两个向量的叉积来得到由两个向量形成的平面的法线。然后检查它与原始平面法线之间的点积，看它们是否面向同一方向。

angle = acos(dotProduct(Va.normalize(), Vb.normalize()));
cross = crossProduct(Va, Vb);
if (dotProduct(Vn, cross) < 0) { // Or > 0
  angle = -angle;
}

Answer 2

我目前使用的解决方案似乎在这里缺失。假设平面法线标准化（|Vn| == 1），则有符号角度为：

atan2((Vb x Va) . Vn, Va . Vb)

返回[-PI，+ PI]范围内的角度（或任何可用的atan2实现返回的角度）。

.和x分别是点和叉号。

不需要明确的分支，也不需要除法/向量长度计算。使用Va x Vb进行右手旋转而不是左手旋转

解释为什么这样做：让alpha为矢量（0°到180°）之间的直接角度和beta我们正在寻找的角度（0°到360°）beta == alpha或{{1 }}

beta == 360° - alpha

最后

Va . Vb == |Va| * |Vb| * cos(alpha)    (by definition) 
        == |Va| * |Vb| * cos(beta)     (cos(alpha) == cos(-alpha) == cos(360° - alpha)


Va x Vb == |Va| * |Vb| * sin(alpha) * n1  
    (by definition; n1 is a unit vector perpendicular to Va and Vb with 
     orientation matching the right-hand rule)

Therefore (again assuming Vn is normalized):
   n1 . Vn == 1 when beta < 180
   n1 . Vn == -1 when beta > 180

==>  (Va x Vb) . Vn == |Va| * |Vb| * sin(beta)

Answer 3

您可以分两步完成此操作：

确定两个矢量之间的角度

theta = acos（Va，Vb的点积）。假设Va，Vb被归一化。这将给出两个矢量之间的最小角度
确定角度的符号

查找向量V3 = Va，Vb的交叉乘积。（顺序很重要）

如果（V3，Vn的点积）为负，则θ为负。否则，theta是正面的。

Answer 4

您可以使用dot product获取角度。要获得角度的符号，请使用Vn * (Va x Vb)的符号。在XY平面的特殊情况下，这将减少到Va_x*Vb_y - Va_y*Vb_x。

Answer 5

将一个向量交叉到另一个向量并进行标准化以获得单位向量。

两个向量之间角度的正弦值等于叉积的大小除以两个向量的大小：

http://mathworld.wolfram.com/CrossProduct.html

Answer 6

设θ是矢量之间的角度。设C = Va交叉乘积Vb。然后

sin theta = length（C）/（length（Va）* 长度（Vb）中）

要确定θ是正还是负，请记住C垂直于Va，Vb指向right-hand rule确定的方向。所以特别是，C与Vn平行。在你的情况下，如果C指向与Vn相同的方向，那么theta是负的，因为你想要左手旋转。可能最简单的计算方法是快速检查Vn和C是否指向同一方向，只是采取他们的点积;如果它是积极的，他们指向同一个方向。

所有这些都来自cross product的基本属性。

Answer 7

假设Vx是x轴，给定正常的Vn，你可以通过叉积获得y轴，你可以将矢量Vb投影到Vx和Vy（通过点积你可以得到投影的长度对于Vx和Vy上的Vb，给定平面上的（x，y）坐标，你可以使用atan2（y，x）来获得[-pi，+ pi]范围内的角度

Answer 8

高级客户提供了以下解决方案（最初是对问题的编辑）：

SOLUTION:

sina = |Va x Vb| / ( |Va| * |Vb| )
cosa = (Va . Vb) / ( |Va| * |Vb| )

angle = atan2( sina, cosa )

sign = Vn . ( Va x Vb )
if(sign<0)
{
    angle=-angle
}

Answer 9

这是用于计算2D或3D中两个向量u，v之间的有符号角度的Matlab代码。代码是自我解释的。符号约定是在ix和iy（[1,0,0]，[0,1,0]）或iy和iz（[0,1,0]，[0之间]输出正+ 90°。 0,1]）

function thetaDEG = angDist2Vecs(u,v)

if length(u)==3
    %3D, can use cross to resolve sign
    uMod = sqrt(sum(u.^2));
    vMod = sqrt(sum(v.^2));
    uvPr = sum(u.*v);
    costheta = min(uvPr/uMod/vMod,1);

    thetaDEG = acos(costheta)*180/pi;

    %resolve sign
    cp=(cross(u,v));
    idxM=find(abs(cp)==max(abs(cp)));
    s=sign(cp(idxM(1)));
    if s < 0
        thetaDEG = -thetaDEG;
    end
elseif length(u)==2
    %2D use atan2
    thetaDEG = (atan2(v(2),v(1))-atan2(u(2),u(1)))*180/pi;
else
    error('u,v must be 2D or 3D vectors');
end

在同一平面内具有相同原点的两个3D矢量之间的有符号角度

9 个答案: