在计算log (a/b)时一个明显的问题是，a和b是给定精度（此处称为本机精度）的两个非零正有限浮点操作数。 a/b商不能以这种精度表示为浮点数。此外，当源操作数的比率接近于1时，精度将丢失。
可以通过暂时切换到更高精度的计算来解决此问题。但是，例如在本机精度为double并且long double仅映射到double时，可能无法轻易获得这种更高的精度。使用高精度计算还可能对性能产生非常显着的负面影响，例如，在GPU上，float计算的吞吐量可能是double计算吞吐量的32倍。 / p>
一个人可能决定使用对数的quotient rule来计算log (a/b)为log(a) - log(b)，但是当a时，这会使计算面临subtractive cancellation的风险。和b彼此靠近，导致非常大的错误。
如何精确计算给定精度的两个浮点数的商的对数，例如是否具有小于2 ulps的误差且鲁棒性强，即在不求助于高于本机精度计算的情况下，中间计算中没有下溢和溢出？
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到目前为止，我确定的最佳方法将三种情况区分开来，这三种情况是基于较大源操作数除以较小源操作数的商。该比率告诉我们操作数相距多远。如果它太大而超过了本机精度的最大可表示数字，则必须使用商规则，并且结果将计算为log(a) - log(b)。如果比率接近于1，则计算应利用函数log1p()来提高准确性，并将结果计算为log1p ((a - b) / b)。 Sterbenz Lemma表示2.0是一个很好的切换点，因为如果{≤{1}}的比率等于或小于2，则将精确计算{{1}。 }}。
下面，我将演示此设计的实现方法，该函数接受a-b个参数。使用log (a/b)可以更轻松地评估准确性，因为这样可以对可能的测试用例进行更密集的采样。显然，整体准确性将取决于数学库中float和float的实现质量。使用具有几乎正确舍入的函数的数学库（logf()中的最大误差<0.524 ulp，logpf()中的最大误差<0.506 ulp），在logf()中观察到的最大误差为<1.5 ulps。使用不同的库，对函数进行如实的全面实现（log1pf()中的最大错误<0.851 ulp，log_quotient()中的最大错误<0.874 ulp），logf()中观察到的最大错误是<1.7 ulps。
log1pf()