求函数的逆

Question

我需要在[0,1）：

域中评估此函数的逆函数

有一个解析逆（我不会费心在这里，因为它很大），但它仅适用于常数A的有限范围，即A> 0.385f（x）。然后，我想到了两种可能的解决方案：

1. 使用Newton-Raphson方法（或任何其他寻根方法）评估每个f（x）的x；
2. 使用S型函数对逆进行近似，并通过最小二乘法确定参数。

我趋向于（2），因为它看起来很简单并且不会像（1）那样使我的代码变慢，但是我对近似的有效性并不安全。我也很感谢其他建议。

如果有一些内置的方法可以解决我的问题，那么我的代码是C ++。

Answer 1

尽管您建议的两种建议方法在更一般的情况下都很有趣，但该函数可以解析地反转。

在Mathematica中，您可能将其反转并得到了“错误”答案：

正确的真实答案是平方根的绝对值。

以下是说明此“正确”答案的原理图：

Answer 2

让y = Ax/(1-x**2)**(1/3)，然后y**3 = A**3*x**3/(1-x**2)，然后A**3*x**3 = y**3*(1-x**2)。这是一个三次方程式。解决它，您会发现x（y）。