Question

在他的“软件基础”一书中，Benjamin Pierce notes that

函数split是combine
的右反

其中split为unzip，combine为zip。我想知道函数的“正逆”是什么意思，如果还有zip的左逆。

Answer 1

如果r是一个标识函数，则{p> f与f . r正确相反（其中.表示合成）。

如果l是身份函数，则

f是l . f的左反。

在这里，他正在滥用命名，因为函数combine并没有将这对列表作为输入，而是将其分别用于每个列表。

split是combine的右逆，而不是完全逆的原因是combine函数在其大小不同时会丢弃其输入列表之一的元素。从这个意义上讲，split会丢失combine无法生成的信息。

也就是说，如果你从：

开始

l1 = [1]
l2 = [2; 3; 4]

然后：

combine l1 l2 = [(1, 2)]

和

split (combine l1 l2) = ([1], [2])

由于split刚刚删除元素combine和combine，3无法成为4的左反转。< / p>

另一方面，对于lp对的任何列表：

let (l1, l2) := split lp in combine l1 l2
= lp

（如果(combine . split) lp = lp将一对作为输入，则可以将其写为combine

Answer 2

为了补充@ ptival的答案，流行图书馆中左/右逆的定义是：

Variables A B : Type.
Implicit Types (f : A -> B) (g : B -> A).
Definition cancel f g := forall x, g (f x) = x.

因此如果cancel f g成立g是f的左反，而g则是f的右反。见http://math-comp.github.io/math-comp/htmldoc/mathcomp.ssreflect.ssrfun.html

请注意，由于Coq缺乏扩展性，因此需要f \o g = id更方便。

在math-comp中，left_inverse和right_inverse保留给运营商。

Answer 3

你问这个问题是因为你没有意识到操作不一定是可交换的。

这是一个令人信服的例子：

设v是一个向量，让S为右移运算符，它将v一个位置的所有条目向右移动，然后将第一个条目设置为0。

设T为左移运算符，它丢弃v的第一个元素，然后将所有剩余元素向左移动一个位置。然后显然TSv = v，所以T表现为S的左反转，但是STv不一定等于v，因为Tv丢弃了后来由S无法恢复的v的第一个元素。因此T是不是S的正确反转。

Answer 4

指的是对中的顺序：

右反分裂是：

Fixpoint split {X Y : Type} (l : list (X*Y))
               : (list X) * (list Y) :=
(* FILL IN HERE *) admit.

LEFT逆分割将具有相反顺序的输出列表：

Fixpoint split {X Y : Type} (l : list (X*Y))
               : (list Y) * (list X) :=
(* FILL IN HERE *) admit.