DFS扫描完成的图形

Question

我有一个有趣的问题想要得到您的帮助：

假设我有一个具有n（n-1）/ 2条边的图（数据结构），这意味着完成的图。
从图形中的某个随机元素进行一次DFS扫描可以得到多少种不同的DFS树？

Answer 1

您的问题很有趣。我相信您是在谈论具有 n 个顶点和两个顶点之间的 n（n-1）/ 2 个边的完整图形。
如果我们从任何一个顶点开始深度优先搜索（DFS），它将最终精确地访问 n 个顶点。在DFS中，我们会跟踪已访问的顶点，以便一旦访问它们就不会访问它们，因此只要DFS进行，输出选项就会减少。我们可以总结为：

• 共有n个选项可以选择第一个顶点。
• 总共有n-1个选项可以选择第二个顶点，因为已经访问了1个顶点。
• 总共有n-2个选项可以选择第三个顶点，因为已经访问了2个顶点。

• 总共有n-3个选项可以选择第三个顶点，因为已经访问了3个顶点。

• 依此类推。 。

• 只有一个选项可以选择第n个顶点。

因此，在这种图中我们可以从DFS中获得不同的DFS树：

Total ways = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*1
           = n! ( n factorial )

Answer 2

实际上，它不是树，而是给定完整图的节点列表。因此，问题是：图的n个节点有多少个排列？显然，答案是n！。