了解非规范化浮点数的用途

Question

在阅读Goldberg的What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic时，我发现了一些我不太了解的东西。

他指出，具有非规格化数字是好的，因为x = y当且仅当x-y==0。然后他举了一个例子：

  

如果（x！= y）则z = 1 /（x-y）

现在，假设x-y是非正规数。这样1/(x-y)很有可能会变成inf。如果我们一开始就没有非正规化的数字，那么结果是一样的。

即使我要执行除法并避免产生inf的结果，如果我们没有非规范化的数字，也将更加方便：

if (x-y) then z = 1/(x-y) // here, we know that z is not inf

我无法用非规范化的数字实现相同的效果，因为x-y可能不是零，而是非规范化的数字，然后1/(x-y)的除法将导致inf。因此，在这里，非规范化的数字实际上会造成麻烦。

为什么且仅当x=y时拥有x-y=0才是好特性？

非规格化数字有用吗？

Answer 1

William Kahan on gradual underflow的一些点：

• 如果浮点格式具有次正规值，则可表示值之间的差距不会随着数字的减少而增加。这可以在编写证明时有所帮助，因为可以断言，如果 x ₀ 与它的最近邻居之间的差是 u ，那么对于任何 x ≤ x ₀ ， x 与它的最近邻居之间的差最大为 u 。然后，您可以继续得出以下结论：只要输入在范围之内，由某些计算序列产生的误差最多是某个值。如果没有低于标准的值，则必须考虑以下情况：在考虑中间值下溢的情况下，将证明分为多种情况，从证明中排除域的某些部分，等等。
• x ± y 无法下溢，因为存在次正态差异。
• 只要至少一项是正常的，则乘积总和的次等项舍入误差较小。

本文并没有声称渐进式下溢在每种情况下都比较好，但已证明总体上是优选的。

在您给出此示例时：

if (x-y) then z = 1/(x-y) // here, we know that z is not inf

具有受限制的实用程序，因为在if (x-y) then z = 4/(x-y)中不是这样。