Question

在我的经济学研究中，我目前正在处理一个特定的最短路径问题：

给定有向权重的确定性动态图，在边缘上，我需要找到一个源S的最短路径，该路径穿过N条边缘。该图可以具有周期，边缘权重可以为负，并且路径可以多次通过顶点或边缘。

是否有解决此问题的有效算法？

Answer 1

一种可能性是：

首先找到图中最低的边缘权重。

，然后建立一个从起始边缘开始的所有路径的优先级队列（最初是从起始点开始的空路径），在该队列中，所有尚未处理的边缘都被认为具有最低权重。

主循环：

从队列中删除权重最低的路径。
如果路径具有N条边，则操作完成
否则，将该路径的所有可能的单边扩展添加到优先级队列

但是，这种简单的算法有一个缺陷-您可能会以第i个边缘的形式多次访问顶点（访问第2个和第4个边缘是可以的，但是在两个不同的路径中访问第4个是可以的），这效率很低。

可以通过在上面的第3步中跳过它们来改进算法，因为优先级队列可确保到达顶点的第一部分路径的权重和最低，而其余路径不依赖于您到达顶点的方式（因为可以复制边和顶点）。

Answer 2

“完全N边”约束使此问题比不存在该约束容易得多。从本质上讲，您可以求解N = 0（仅是起始节点），使用它来求解N = 1（起始节点的所有邻居），然后求解N = 2（解决方案的邻节点N = 1，采用成本最低的路径）对于连接到多个节点的节点），等等。

在伪代码中（使用{field: val}表示“具有值为field的名为val的字段的记录”）

# returns a map from node to cost, where each key represents 
# a node reachable from start_node in exactly n steps, and the
# associated value is the total cost of the cheapest path to 
# that node
cheapest_path(n, start_node):
  i = 0
  horizon = new map()
  horizon[start_node] = {cost: 0, path: []}
  while i <= n:
    next_horizon = new map()
    for node, entry in key_value_pairs(horizon):
      for neighbor in neighbors(node):
        this_neighbor_cost = entry.cost + edge_weight(node, neighbor, i)
        this_neighbor_path = entry.path + [neighbor]
        if next_horizon[neighbor] does not exist or this_neighbor_cost < next_horizon[neighbor].cost:
          next_horizon[neighbor] = {cost: this_neighbor_cost, path: this_neighbor_path}
    i = i + 1
    horizon = next_horizon
  return horizon

我们考虑使用edge_weight(node, neighbor, i)的动态权重，意思是“在时间node时从neighbor到i的成本。

这是像Dijkstra算法那样的单源最短路径算法的简并版本，但是它要简单得多，因为我们知道我们必须精确地走N步，所以我们不必担心陷入负重循环中，重量较轻的长路径等等。

来自一个源的最短路径穿过N个边缘

2 个答案: