Question

我正在研究排序算法，并且坚持定理，证明在n向量上的排序算法至少在最坏的情况下具有时间复杂度

n * log2（n）+（1/2）* log2（n）-log2（e）* n + O（1）

您的证明使用引理，该引理指出具有k个叶子的二叉树的高度至少为ceiling（log2（n））。定理指出，您可以使用n！建立二元决策树！叶子并使用斯特林公式得出结果！它应该是排序算法领域中的经典定理。

我的问题是我不知道n如何！叶二叉树正在构建！例如，如果我们要对向量v =（4,3,1）进行升序排序，该如何用3！= 6个叶子构建决策树？

对于可能出现的错误以及未正确使用数学公式表示歉意。

提前感谢大家！

Answer 1

这里是一个例子：

if (v[0] <= v[1]) {
  if (v[1] <= v[2]) {
    // Sorted order: v[0], v[1], v[2]
  } else {
    // v[1] > v[2], so v[1] is a maximal element
    if (v[0] <= v[2]) {
      // Sorted order: v[0], v[2], v[1]
    } else {
      // Sorted order: v[2], v[0], v[1]
    }
  }
} else {
  // v[0] > v[1]
  if (v[1] > v[2]) {
    // Sorted order: v[2], v[1], v[0]
  } else {
    // v[1] <= v[2], so v[1] is a minimal element
    if (v[0] <= v[2]) {
      // Sorted order: v[1], v[0], v[2]
    } else {
      // Sorted order: v[1], v[2], v[0]
    }
  }
}

此决策树有6个叶子，最多需要3个决策才能到达叶子。

通常，您实际构建决策树的方式称为“排序算法”。如果在所有可能的输入上运行算法，则可以跟踪它如何做出有关交换元素的决策并建立相应的决策树。

Answer 2

通过排序算法构建决策树很容易。排序算法可以尝试的每个比较将可能的一组命令分为两组。当只剩下一个可能的顺序时，排序算法即告完成。

您实际上将可能的决策以树（<，>）的形式写到（左，右）中。如果横向绘制树，则向上或向下。

          a<b?
           |
     Y-----------N
     |           |
    b<c?        a<c?
     |           |
  Y-----N     Y-----N
  |     |     |     |
(abc)  a<c? (bac)  b<c?
        |           |
     Y-----N     Y-----N
     |     |     |     |
   (acb) (cab) (bca) (cba)

现在尚未解决的普遍问题是这个。最好的决策树是什么？：-）

最坏情况最小排序时间复杂性定理

2 个答案: