Question

我坚持一个定理，我认为这是不可能的。

Theorem double_negation : forall A : Prop, ~~A -> A.

你能证明它或解释为什么它是不可能的吗？

这是由于哥德尔的不完备性定理吗？

Answer 1

双重否定消除是not provable in constructive logic，它是Coq的基础。为了证明这一点，我们很快得到stuck：

Theorem double_negation_elim : forall A : Prop, ~~A -> A.
Proof.
  unfold not.
  intros A H.
  (* stuck because no way to reach A with H : (A -> False) -> False *)
Abort.

我们可以show如果可以证明双重否定消除是可证明的，那么排除中间的法则将成立，即(forall (A : Prop) , (~~A -> A)) -> forall A : Prop, A \/ ~A.

首先我们prove中间结果∼∼(A ∨ ∼A)：

Lemma not_not_lem: forall A: Prop, ~ ~(A \/ ~A).
Proof.
  intros A H.
  unfold not in H.
  apply H.
  right.
  intro a.
  destruct H.
  left.
  apply a.
Qed.

因此

Theorem not_not_lem_implies_lem: 
  (forall (A : Prop) , (~~A -> A)) -> forall A : Prop, A \/ ~A.
Proof.
  intros H A.
  apply H.
  apply not_not_lem.
Qed.

但这是一个矛盾，因为LEM不具备建设性的逻辑。

不可证明的定理：A：Prop，~~ A - ＆gt;一个

1 个答案: