具有特定距离的图中的顶点对

Question

给定树具有 N 顶点和正数 K 。找到它们之间距离正好 K 的不同顶点对的数量。注意，对（v，u）和（u，v）被认为是同一对（1≤ N ≤50000，1≤ K ≤500）。< / p>

我无法为此找到最佳解决方案。我可以从每个顶点做BFS，并计算从那里可以到达并且距离小于或等于 K 的顶点数。但是在最坏的情况下，复杂性将是2的顺序。是否有更快的方法？

Answer 1

您可以通过更简单的方式实现这一目标。 在树上运行DFS，并为每个顶点计算与根的距离 - 保存在数组中的那些（通过o（1）访问）。

对于图表中的每对顶点： 找到他们的LCA（最低共同祖先有算法在0（1）中做到这一点）。 假设u和v是2个任意顶点，w是它们的LCA - ＆gt;从u到根减去从w到根的距离 - 现在你有u和w之间的距离。为v - ＆gt;做同样的事情与o（1）你得到（v，w）和（u，w）的距离 - ＆gt;将它们加在一起得到（v，u）距离 - 现在你所要做的就是与K比较。

最终复杂度为o（n ^ 2）

Answer 2

改进其他答案的方法，我们可以进行一些关键观察。

要计算两个节点之间的距离，您需要它们的 LCA（最低公共祖先）和深度，就像另一个答案试图做的那样。这里使用的公式是：

<块引用>

Dist(u, v) = depth[u] + depth[v] - 2 * depth[ lca(u, v) ]

Depth[x] 表示 x 到根的距离，从根节点开始使用 DFS 预先计算。

现在关键的观察来了，你已经有了距离值 K，假设 dist(u, v) = K 使用这个假设计算（预测？）LCA 的深度。通过将 K 代入上述公式，我们得到：

<块引用>

depth[ lca(u, v) ] = (depth[u] + depth[v] - K) / 2

既然你有了 LCA 的深度，你知道 u 和 lca 之间的距离是 depth[u] - depth[ lca(u, v) ]，v 和 lca 之间的距离是 depth[v] - depth[ lca(u, v) ]，让这个是 {{1 }} 和 X 分别。

现在我们知道 LCA 是最低共同祖先，因此 Y 的 Xth parent 和 u 的 Yth parent 应该是 LCA，所以现在如果 v 的 Xth parent 和 u 的 Yth parent 确实是同一个节点，那么我们可以说我们对节点之间距离的预先假设是正确的，并且两个节点之间的距离是v。

您可以使用 Binary Lifting Algorithm 计算 K 复杂度中节点的 Xth 和 Yth 祖先，预处理时间为 O(logN)，当节点第一次访问。

角落案例：

1. 计算出的 LCA 深度不应是分数或负数。
2. 如果任何节点 O(NLogN) 或 u 的深度与节点的计算深度匹配，则该节点是另一个节点的祖先。
3. 考虑这棵树：

假设 K = 4，我们使用上面的公式得到 v，如果我们得到 depth[lca] = 1 和 Xth 的 Yth 和 u 祖先我们将得到相同的节点 v，这应该验证我们的假设，但事实并非如此，因为 u 和 v 之间的距离实际上是 2，如上图所示。这是因为在这种情况下 LCA 实际上是 2，为了处理这种情况，还要分别计算 1 和 X-1 的 Y-1th 和 uth 祖先，并检查它们是否是不一样。

最终复杂度：O(NlogN)