Question

我试图将多维数组表示为受限函数，我在定义看似原始函数时遇到了麻烦。

以下是定义：

Require Export Fin.
Require Export PeanoNat.

Inductive ispace : nat -> Type :=
  Rect: forall d:nat, ((Fin.t d) -> nat) -> ispace d.

Inductive index : nat -> Type :=
  Idx: forall d: nat, (Fin.t d -> nat) -> index d.

Inductive bound_idx : forall d, index d -> ispace d -> Prop -> Type :=
  RectBoundIdx : forall d f_idx f_shp,
                 bound_idx d (Idx d f_idx) 
                             (Rect d f_shp)
                             (forall i, f_idx i < f_shp i).
Inductive array : 
  forall d (is:ispace d), 
           (forall idx pf, bound_idx d idx is pf -> nat) -> Type :=
  RectArray: forall (d:nat) sh_f val_f, 
             array d (Rect d sh_f) val_f.

我为矩形索引空间，索引和由矩形索引空间限定的索引定义类型族。数组类型是从受限索引空间到nat的函数。

现在，我正在尝试从这样的函数构造一个数组：

Definition func_to_arr d is (af:forall idx pf,
                             bound_idx d idx is pf -> nat) :=
  match is with
  | Rect d f => RectArray d f af
  end.

Coq告诉我：

Error:
In environment
d : nat
is : ispace d
af : forall (idx : index d) (pf : Prop), bound_idx d idx is pf -> nat
d0 : nat
f : t d0 -> nat
The term "af" has type "forall (idx : index d) (pf : Prop), bound_idx d idx is pf -> nat"
while it is expected to have type "forall (idx : index d0) (pf : Prop), bound_idx d0 idx (Rect d0 f) pf -> nat"
(cannot unify "index d0" and "index d").

所以我想知道，我怎样才能将这些信息传递给上面的定义，以便它变得有效。除非我误解了某些东西，否则af的类型包含重建数组的所有必要信息。

Answer 1

这个问题在使用Coq的依赖类型编程中很常见。为了解决这个问题，人们通常使用A. Chlipala在CPDT中描述的护航模式（更多章节，IIRC），并在Stackoverflow上提到多次。

以下是如何定义功能的方法。

Definition func_to_arr d is (af:forall idx pf, bound_idx d idx is pf -> nat) :=
  match is
  as is'
  in (ispace d1)
  return
    forall af' : forall idx pf, bound_idx d1 idx is' pf -> nat, array d1 is' af'
  with
  | Rect d2 f => fun af' => RectArray d2 f af'
  end af.

我在这里做依赖模式匹配，基本上执行＆＃34;重写＆＃34;因此，Coq可以看到人类读者通常认为理所当然的变量之间的联系。您可以在本手册的extended pattern matching部分阅读我在此处使用的构造。

顺便提一下，如果您将d 参数设为归纳类型而不是将其作为索引，则不需要使用{{1} }}，d1和d2不是必需的。如果选择是偶然的，那么您可能需要查看answer explaining the difference between those。

Coq：无法统一归纳类型

1 个答案: