抛物线背包

Question

让我们说我有抛物线。现在我也有一堆宽度相同的棒（是的，我的绘画技巧太棒了！）。如何在抛物线内堆叠这些木棍，以便尽可能减少其使用的空间？我认为这属于Knapsack problems类别，但这个维基百科页面似乎并没有让我更接近现实世界的解决方案。这是NP-Hard问题吗？

在这个问题中，我们试图最小化消耗的面积（例如：积分），其中包括垂直面积。

Answer 1

我使用processing.js和HTML5画布在JavaScript中编写了一个解决方案。

如果您想创建自己的解决方案，这个项目应该是一个很好的起点。我添加了两个算法。一个将输入块从最大到最小排序，另一个随机地对列表进行排序。然后尝试将每个物品从底部（最小的桶）开始放置在桶中并向上移动直到其具有足够的空间以适合。

根据输入的类型，排序算法可以在O（n ^ 2）中给出良好的结果。以下是排序输出的示例。

这是插入顺序算法。

function solve(buckets, input) {
  var buckets_length = buckets.length,
      results = [];

  for (var b = 0; b < buckets_length; b++) {
    results[b] = [];
  }

  input.sort(function(a, b) {return b - a});

  input.forEach(function(blockSize) {
    var b = buckets_length - 1;
    while (b > 0) {
      if (blockSize <= buckets[b]) {
        results[b].push(blockSize);
        buckets[b] -= blockSize;
        break;
      }
      b--;
    }
  });

  return results;
}

github项目 - https://github.com/gradbot/Parabolic-Knapsack

这是一个公共回购，所以随意分支并添加其他算法。我可能会在未来增加更多，因为这是一个有趣的问题。

Answer 2

简化

首先，我想简化问题，这样做：

• 我切换轴并将它们相互添加，这导致x2增长
• 我认为它是封闭间隔[a, b], where a = 0的抛物线，对于此示例b = 3

假设您获得了b（间隔的第二部分）和w（细分的宽度），那么您可以按n=Floor[b/w]找到细分的总数。在这种情况下，存在一个微不足道的情况，以最大化黎曼和和函数以得到第i个段高度：f(b-(b*i)/(n+1)))。实际上这是一个假设，我不是百分百肯定。

功能17实际值的封闭间隔[0, 3]上Sqrt[x]段的最大示例：

在这种情况下，高度段的作用为Re[Sqrt[3-3*Range[1,17]/18]]，值为：

• 确切形式：

  

{Sqrt [17/6]，2 Sqrt [2/3]，Sqrt [5/2]，   Sqrt [7/3]，Sqrt [13/6]，Sqrt [2]，   Sqrt [11/6]，Sqrt [5/3]，Sqrt [3/2]，   2 / Sqrt [3]，Sqrt [7/6]，1，Sqrt [5/6]，   Sqrt [2/3]，1 / Sqrt [2]，1 / Sqrt [3]，   1 /的Sqrt [6]}

• 近似形式：

  

{1.6832508230603465，   1.632993161855452，1.5811388300841898，1.5275252316519468，1.4719601443879744，1.4142135623730951，1.35400640077266，1.2909944487358056，1.224744871391589，1.1547005383792517，1.0801234497346435，1，0.9128709291752769，0.816496580927726，0.7071067811865475，0.5773502691896258，0.4082482904638631}

您归档的内容是 Bin-Packing问题，部分填充了bin。

寻找b

如果b未知，或者我们的任务是找到最小可能的b，所有的棍子形成初始束适合。然后我们可以将至少b值限制为：

1. 下限：如果段高的总和=杆高的总和
2. 上限：段数=棒数最长棒＆lt;最长段高度

查找b的最简单方法之一是在(higher limit-lower limit)/2处获取一个支点，查找是否存在解决方案。然后它变为新的上限或下限，并重复该过程，直到满足所需的精度。

---

当您查找b时，您不需要确切的结果，但是不是最理想的，如果您使用有效的算法来查找相对较近的支点到实际b，那么会更快。

例如：

• 按长度排序：从最大到最小
• 开始'把最大的项目'放入你的第一个装箱

Answer 3

这相当于有多个背包（假设这些块是相同的'高度'，这意味着每个'线'都有一个背包），因此是垃圾箱包装问题的一个实例。

请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Bin_packing

Answer 4

  

如何在抛物线内堆叠这些木棍，以便尽量减少它所使用的（垂直）空间？

就像处理任何其他 Bin Packing 问题一样处理它。我会在其上抛出元启发式（例如禁忌搜索，模拟退火，...）因为那些算法不是问题具体

例如，如果我从Cloud Balance problem中的Drools Planner（=一种Bin装箱形式）开始。如果所有的棍子都有相同的高度，并且两根棍子之间没有垂直空间，那么我就不需要改变了：

• 将Computer重命名为ParabolicRow。删除它的属性（cpu，内存，带宽）。给它一个唯一的level（其中0是最低的行）。创建一些ParabolicRows。
• 将Process重命名为Stick
• 将ProcessAssignement重命名为StickAssignment
• 重写硬约束，以便检查是否有足够的空间容纳分配给Sticks的所有ParabolicRow的总和。
• 重写软约束以最小化所有level的最高ParabolicRows。

Answer 5

我非常确定它相当于装箱：

非正式减少

将x最宽行的宽度设为大，使二进制数大2，并为每一行创建一个2x-rowWidth大的占位符元素。因此，两个占位符元素无法打包到一个bin中。

要减少抛物面背包上的装箱包装，您只需为大于所需大小的所有行创建占位符元素，其大小为width-binsize。此外，为所有小于binsize的行添加占位符，这些行填充整行。

这显然意味着你的问题是NP难的。

对于其他想法，请看这里：http://en.wikipedia.org/wiki/Cutting_stock_problem

Answer 6

这很可能是1-0背包或装箱问题。这是一个NP难题，很可能这个问题我不明白，我无法向你解释，但你可以用贪婪的算法进行优化。这是一篇关于它http://www.developerfusion.com/article/5540/bin-packing的有用文章，我用它在phpclasses.org上创建我的php类bin-packing。

Answer 7

对于那些提到水平可能处于不同高度的事实的道具（例如：假设棒是1'厚'1级从0.1单位变为1.1单位，或者它可以从0.2变为1.2单位）

您当然可以扩展“多箱包装”方法并测试任意小的增量。 （例如：运行多个binpacking方法，其级别从0.0,0.1,0.2，... 0.9开始），然后选择最佳结果，但似乎你会在无限时间内卡住计算，除非你有一些方法逻辑验证你是否已经“正确”（或者更准确地说，你所有'行'对于它们包含的内容是正确的，此时你可以将它们向下移动直到它们遇到抛物线的边缘）

此外，OP并未指明必须水平放置木棍 - 尽管OP可能暗示它与那些甜蜜的图画。

我不知道如何以最佳方式解决这样的问题，但我敢打赌，在某些情况下你可以随机放置棍子，然后测试它们是否在抛物线内“，它会击败任何依赖的方法论仅在水平行上。 （考虑一个狭窄抛物线的情况，我们试图用一根长棍子填充。）

我说要把它们扔在那里并摇动它们;）