Question

我正在尝试使用Julia以数字方式求解抛物线偏微分方程，但我找不到任何可以帮助的可访问文档。

这是一个例子：t，x是1维实数。我想解决u（t，x）= [u1（t，x）u2（t，x）];你满足PDE

du1 / dt = d ^ 2u1 / dx ^ 2 + a11（x，u）du1 / dx + a12（x，u）du2 / dx + c1（x，u）

du2 / dt = d ^ 2u2 / dx ^ 2 + a21（x，u）du1 / dx + a22（x，u）du2 / dx + c2（x，u）

朱莉娅有可能这样做吗？在Matlab中使用pdepe可以解决这类问题。

Answer 1

现在，我们没有“全程”PDE求解器，即您放入PDE并进入的解算器。然而，通过对ODE进行离散化来解决PDE，因此为此编写完整停止PDE求解器的方式如下。大多数是这样的在this blog post BTW中进行了更深入的讨论。

拿你的PDE。现在按dx对运算符进行离散化。 LaPlacian的二阶有限差分离散化是应用于我们状态的模板u[i-1] - 2 u[i] + u[i+1]。当然，当你到达终点时，你必须考虑你的边界条件。通常一种很好的写入方式是矩阵，所以：

const Mx = Tridiagonal([1.0 for i in 1:N-1],[-2.0 for i in 1:N],[1.0 for i in 1:N-1])
# Do the reflections, different for x and y operators
Mx[2,1] = 2.0
Mx[end-1,end] = 2.0

Mx*u/dx^2执行离散化的LaPlacian。

一阶导数术语的表达方式相似，但在这种情况下，使用upwinding scheme是很常见的。您可以使用du1/dx术语并将其替换为内核

a[i]*(u[i]-u[i-1])/dx

a为正，或

a[i]*(u[i]-u[i+1])/dx

当a为否定时。然后结合边界条件当然。然后你只需将你的反应写成c1(x[i],u[i])。这将是一样的（以非矩阵形式：

function f(t,u,du)
    u1 = @view u[:,1]
    u2 = @view u[:,1]
    du1 = @view du[:,1]
    du2 = @view du[:,2]
    for i in 2:length(u)-1
        du1[i] = (u1[i-1] - 2u1[i] + u1[i+1])/dx^2 +
                a11(x[i],u1[i])*(u1[i]-u1[i-1])/dx +
                a12(x[i],u1[i])*(u1[i]-u1[i-1])/dx +
                c1(x1[i],u1[i])

        du2[i] = (u2[i-1] - 2u2[i] + u2[i+1])/dx^2 +
                a11(x[i],u2[i])*(u2[i]-u2[i-1])/dx +
                a12(x[i],u2[i])*(u2[i]-u2[i-1])/dx +
                c1(x1[i],u2[i])
    end

end

请注意，我没有做到最后，因为我不知道你想要什么样的边界条件。如果它的Dirichlet为零常数，那么你只需在终点处写下它，但是减去空间的值。在这里x[i] = x0 + dx*i。

现在你有一组u[i,j] = u_j(x_i)的ODE。因此，您将初始条件离散为u0[i,j]并设置ODE问题：

using DifferentialEquations
prob = ODEProblem(f,u0,tspan)

For this, see the DiffEq documentation, specifically the ODE tutorial。现在，您只需解决PDE的离散化ODE表示。对于这些类型的方程式，如博客文章中所述，使用CVODE_BDF Krylov线性求解器的Sundials.jl GMRES方法是一个不错的选择，所以我们这样做：

sol = solve(prob,CVODE_BDF(linear_solver=:GMRES))

这给出了一个连续的解决方案，其中sol(t)[i,j]是u_j(t,x_i)的数值近似值。当然，较低dx更准确，您应该根据需要调整ODE求解器的容差。

我们将在不久的将来为PDE自动执行此操作（任何订单的任何衍生产品），但是it's currently a work-in-progress所以现在需要手动离散化（这在任何数值方法课程中都有教授），所以它不是太糟糕！）。希望这可以帮助。如果您需要更多帮助，请check out our chat channel，因为那里的大多数人都会有这种离散化的经验。

茱莉亚的抛物型偏微分方程

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