Dijkstra图中最长的路径

Question

我只是想知道：你可以在图表中反转所有权重，然后做一个Dijkstra吗？当我们最小化权重的倒数值时，获得的路径将最大化它，对吧？ 因此，通过这种方式，我们可以使用Dijkstra获得图表中最长的路径！ 这似乎太容易了，我错了吗？拜托，赐教。

Answer 1

这是不可能的，因为longest path problem没有像shortest path那样的最佳子结构问题。

假设您可以将任何路径视为最长路径（因此它可以具有循环）但是如果存在循环并且权重为正，则算法将永远不会结束，因为它总是可以通过循环遍历来改善最长路径。

现在说我们想要只有简单的路径（没有循环）作为最长路径的候选路径。在不失一般性的情况下，考虑以下具有所有边的单位权重的图：

A------B
|      |
|      |
C------D

考虑从A到D（A->B->D）的最长路径。对于具有最佳子结构属性的问题，必须是从A到B的最长路径A -> B，但显然不是因为路径A->C->D->B更长。可以对从B到D的路径进行类似的论证。所以我们可以看到为什么用Dijkstra算法无法解决这个问题。事实上，这个问题是NP，没有合理的时间复杂度解决方案。

Answer 2

使用简单的示例图很容易理解。

假设您要从A点到D点。要使权重的倒数最小，您将经过C。但是A-> B-> D较大。

编辑：也许我至少应该包括一些数学知识。

假设一个正数序列的总和是s。

a1 + a2 + a3 + ... + an = s。

倒数和的最小值是多少？

1/a1 + 1/a2 + 1/a3 + ... + 1/an

玩这个游戏会给你一些直觉。