Question

好的，我发布了这个问题，因为这个练习：

我们可以修改Dijkstra的算法，通过将最小值改为最大值来解决单源最长路径问题吗？如果是这样，那么证明你的算法正确。如果没有，那么提供一个反例。

对于本练习或与Dijkstra算法相关的所有事情，我假设图中没有负权重。否则，它没有多大意义，因为即使对于最短路径问题，如果存在负边缘，Dijkstra也无法正常工作。

好的，我的直觉为我解答了：

是的，我认为可以修改。

我只是

然后我做了一些研究来验证我的答案。我找到了这篇文章：

首先我认为我的答案是错误的，因为上面的帖子。但我发现上面帖子中的答案可能是错误的。它将单源最长路径问题与最长路径问题混为一谈。

同样在Bellman–Ford algorithm的wiki中，它说得正确：

Bellman-Ford算法计算加权有向图中的单源最短路径。 对于仅具有非负边缘权重的图形，更快的Dijkstra算法也可以解决问题。因此，Bellman-Ford主要用于具有负边缘权重的图形。

所以我认为我的答案是正确的，对吧？ Dijkstra真的可以单源最长路径问题，我的修改也是正确的，对吗？

Answer 1

不，我们不能¹ - 或者至少，不知道多项式减少/修改 - longest path problem是NP-Hard，而dijkstra在多项式时间内运行！< / p>

如果我们可以找到dijsktra的修改来回答多项式时间中的最长路径问题，我们可以导出P=NP

如果没有，那就提供一个反例。

这是一项非常糟糕的任务。计数器示例可以提供特定的修改是错误的，而可能有不同的修改即可。
事实是我们不知道最长路问题是否可以在多项式时间内解决，但一般的假设是 - 它不是。

关于改变放松步骤：

        A
       / \
      1   2
     /     \
    B<--1---C
edges are (A,B),(A,C),(C,B)

来自A的dijkstra将首先选择B，然后B永远无法访问 - 因为它超出了distances的范围。

至少，人们还必须将最小堆更改为最大堆，但它会有一个不同的反例 - 它失败的原因。

（1）可能，也许如果P = NP则可能，但这种可能性很小。

Answer 2

是的，我们可以。你的答案几乎是正确的。除了一件事。

您假设没有负面重量。在这种情况下，Dijkstra的算法找不到最长的路径。

但如果您假设仅负权重，您可以轻松找到最长的路径。为了证明正确性，只需获取所有权重的绝对值，就可以得到正常权重的通常Dijkstra算法。

Answer 3

它适用于有向无环图，但不适用于循环图。由于路径将回溯，并且在dijkstra的算法中无法避免这种情况