具有正交边缘（凸面或凹面或有孔）的多边形内的最远点

Question

我有一组代表单一形状的非交叉矩形。所有矩形边都是垂直或水平的。有些矩形是相邻的，有些是不相交的。通过从单个其他矩形中剪切出类似定向的矩形来导出该集合。如何找到距离新形状边缘最远的所有点？

最远，我指的是给定连接多边形A中的一个点P（因此我们忽略所有不包含A的不相交多边形;给定非交叉点只会有1）B内没有P点，B到P边缘上任意点的最小距离大于A的最小距离{ {1}}。

这是我认为我必须做的事情：

1. 对相邻的矩形进行分组。

2. 将多个相邻的矩形转换为单个不规则多边形，该多边形可以是凸面或凹面，也可以包含孔，但只有正交边。问题：如何表示漏洞？是否应移除孔（3）？如何在保持边缘正交的同时去除孔？

   • 可能更容易并行执行步骤1和2。

3. 对于每个多边形，应用一种算法，该算法返回距离该多边形边缘最远的点，以及最小距离。

   • 问题：如何测试点是否在多边形内？

   • 答案："Wikipedia: Point-in-Polygon"

4. 过滤所有最小距离最大的点;结果就是这样。

假设这是正确的，最好的算法是什么（3），它如何影响答案的其余部分？仅通过垂直或水平边缘简化了问题吗？

最好的，我的意思是最简单或最快。

插图：



编辑v1：

所以我用google来解决这个问题，找到了几种方法

算法

1. Voronoi图 - ＆gt;内侧轴

   线段（而不是点）的voronoi图由中间轴段（线或抛物线弧）和从多边形的每个顶点到中轴的顶点的（反射）线组成。有关voronoi图，中轴和最大内切圆问题之间关系的概述，请参阅this stackoverflow answer (#2)。另见下文。

   1. 使用"A Sweepline Algorithm for Voronoi Diagrams"，O[n*log(n)]。

      无论孔洞如何，都可以使用凸多边形或凹多边形。构造多边形边缘的voronoi图。不幸的是会产生一组无序的线段（线条或抛物线）。在确定最大内切圆之前，将集合组织成图形结构。有关财富算法的详细概述，请参阅"Voronoi Diagrams and a Day at the Beach"。

   2. 使用"Finding the Medial Axis of a Simple Polygon in Linear Time"，O(n)。

      适用于没有孔的简单多边形（凸面或凹面）。它看起来很复杂，所以我决定跳过这个。

   3. 使用"A Linear time algorithm for computing the Voronoi diagram of a convex polygon"，O(n)。

      仅适用于凸多边形，因此不适用于我的问题。有关详细信息，请参阅this stackoverflow answer (#1)。

2. 直骨架 - ＆gt;中轴

   对于凸多边形，voronoi图和直骨架是相同的。因此，这些解决方案不适用于我的问题。

   1. 使用"STALGO"，O[n*log(n)]。有关详细信息，请参阅this stackoverflow answer (#1)。

3. 蛮力，O(n^4)。请参阅this stackoverflow answer (#3)和this stackoverflow answer (#2)。

   1. 对于多边形边和顶点的所有可能的三向组合（顺序并不重要）：

   2. 为每组构建最大内切圆，即找到与所有三个中心点等距的中心点。

   3. 如果中心位于多边形之外，则丢弃结果。

   4. 如果任何其他边缘或顶点在圆圈内（或相交），则丢弃结果。

   5. 按圆半径排序;返回最大的圈子。

4. Delaunay三角测量 - ＆gt; Voronoi图 - ＆gt;内侧轴

   应该可以从delaunay三角测量转换为voronoi图...但我还没有调查 edge 的voronoi图。如果几何库仅提供delaunay三角剖分，则此方法可能很有用。

Voronoi图和最大内切圆

我见过的每一个资源都声称最大内切圆触及多边形的三个面（顶点或边），因此最大圆的中心必须是中轴上的顶点。但这仅代表最大内切圆的子集。考虑一个矩形的中轴：



沿着中轴的水平段具有中心的任何圆都是有效的最大内切圆。因此，如果中间轴段分隔两个最近的相邻单元格，并且这些单元格的相应多边形区段是平行的，则整个中间轴边缘代表单个点而不是单个点，表示最大内切圆的集合。

直观地说，考虑到多边形边缘与最近邻居单元格的可能组合，我认为这是如何工作的：

• line，line，parallel：中轴是一条线，代表可能的最大内切圆的集合。

• 线，线，不平行：中轴是一条线。像往常一样，该线的端点必须至少有两条连接回多边形的反射线。可能的最大内切圆以具有最长反射线的端点为中心。

• line，point：中轴是抛物线。如上所述，使用反射线来确定可能的最大内切圆的中心。 （*）

• 点，点：与上述相同。 （*）

  不确定最后两个

这就是上面详述的蛮力方法不完整的原因。

正交多边形

尽管存在正交约束，但我无法找到任何更简单的算法来构建中轴。一篇论文使用此约束来为中轴提供更稳定的替代方案："Skeletal representations of orthogonal shapes"。

编辑v2：

我想知道是否有可能以this stackoverflow approach - 基于"Poles of Inaccessibility: A Calculation Algorithm for the Remotest Places on Earth"来调整我的输入（绿色）矩形（而不是正方形），同时保证绝对最大内切圆。