Question

给定一组与闭合形状相对应的坐标，我想计算total absolute curvature，这需要计算每个点的曲率，取绝对值并求它们。很简单。

我使用this question的答案来计算x y坐标（xymat）矩阵的曲率，得到我认为的总绝对曲率：

sum(abs(predict(smooth.spline(xymat), deriv = 2)$y))

问题是总绝对曲率的最小值为2 * pi且与圆圈完全相同，但此代码正在评估小于2 * pi的值：

library(purrr)
xymat <- map_df(data.frame(degrees=seq(0:360)), 
           function(theta) data.frame(x = sin(theta), y = cos(theta)))
sum(abs(predict(smooth.spline(xymat), deriv = 2)$y))

这会返回1.311098而不是6.283185的预期值。

如果我将df的{{1}}参数更改为3，就像上一个答案一样，返回的值为smooth.spline，仍然低于2 * pi（df值smooth.spline为自己计算的是2.472213）。

有更好的方法来计算曲率吗？是3.944053是通过弧长参数化还是将它合并（以某种方式）拯救这个计算？

Answer 1

好的，在我们开始之前有一些事情。你在seq中使用了度数，这会给你不正确的结果（0到360度）。您可以通过在R中取cos(360)来检查这是错误的，而不是1.这在详细信息下的trig函数文档中有说明。

所以让我们将你的功能改为

xymat <- map_df(data.frame(degrees=seq(0,2*pi,length=360)), 
         function(theta) data.frame(x = sin(theta), y = cos(theta)))

如果你绘制这个，这确实看起来像一个圆圈。

让我们将其限制在圆圈的下半部分。如果您在不了解对称性并查看绘图的情况下放置样条曲线，则可能会在圆圈中获得水平线。

为什么呢？因为样条曲线不知道它在y = 0的上方和下方是对称的。样条曲线试图拟合解释“数据”的函数，而不是跟踪弧。它将y = 0周围的两个对称点集之间的差异分开。

如果我们将样条曲线限制在圆的下半部分，我们可以使用介于1和-1之间的y值，如下所示：

lower.semicircle <- data.frame(predict(smooth.spline(xymat[91:270,], all.knots = T)))

让我们通过它来拟合样条。

lower.semicircle.pred<-data.frame(predict(smooth.spline(lower.semicircle, all.knots = T)))

注意我在这里没有使用deriv功能。这是针对您链接的cars示例中的其他问题。你想要总绝对曲率，他们正在考虑曲率变化率。

我们现在所拥有的是使用样条曲线逼近下半圆。现在，您需要所有小连续点之间的距离，例如维基百科页面中的积分。

让我们使用距离矩阵计算所有的小弧距。这实际上计算了每个点与每个其他点之间的欧几里德距离。

all.pairwise.distances.in.the.spline.approx<-dist(lower.semicircle.pred, diag=F)
dist.matrix<-as.matrix(all.pairwise.distances.in.the.spline.approx)
seq.of.distances.you.want<-dist.matrix[row(dist.matrix) == col(dist.matrix) + 1]

最后一个对象是你需要总结的东西。

sum(seq.of.distances.you.want)

..对于下半圆的评估为[1] 3.079，大约是2 * pi预期值的一半。

它并不完美，但样条曲线存在边缘效应问题。

根据R中的坐标计算总绝对曲率

1 个答案: