对于给定的点列表，我想检查它们是否位于（可能是低维）单形的内部。 我想用Python做到这一点。
编辑：我想（反复）回答这个问题，u是否在A的形象中（作为决策问题，所以只是是） /否）。
首先，我进行QR分解，然后解决系统，最后检查解决方案是否正确。
import scipy.linalg
import numpy as np
Q,R = np.linalg.qr(AA)
for u in points:
x = scipy.linalg.solve_triangular(R, np.dot(Q.T, u))
print(all(x <= 1-1e-6) and all(x >= 1e-6) and all(abs(np.dot(AA,x) - u) < 1e-6))
但是，我遇到了数值问题，准确性似乎太差了。我有一个点，它位于内部（根据先前的线性程序计算），但上面的代码无法识别这一点。
矩阵的条件大约为100，形状为(36,35)，所以看起来并不那么可怕，但误差略高于1e-6
有没有办法提高准确度？
sympy进行符号化，但不得不中断计算。花了太长时间。1e-6。AA = np.array([
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 8],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 2, 4, 6, 0, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 6],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 0, 4, 4, 4, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 6, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 6, 0, 2, 4, 0, 4],
[0, 0, 0, 4, 10, 0, 0, 6, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 2, 2, 4, 2, 2, 0, 0, 2, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 4, 6, 2, 0, 2, 0, 0],
[0, 2, 2, 0, 4, 4, 4, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 6, 2, 2, 0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0],
[0, 0, 2, 0, 4, 0, 2, 6, 0, 0, 0, 0, 6, 2, 0, 0, 0, 4, 6, 6, 6, 0, 4, 4, 0, 2, 6, 8, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 6, 8, 0, 0, 2, 0, 2, 4, 2, 6, 2, 4, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 2, 4, 2, 10, 2, 0, 12, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 6, 2, 2, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 4, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0],
[0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 4, 2, 4, 8, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 2, 6, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 6, 0, 4, 10, 0, 2, 0, 0, 4, 2, 6, 2, 2, 0, 2, 0, 0, 8, 2, 0, 0, 2, 0],
[0, 0, 2, 0, 4, 8, 2, 14, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 4, 8, 0, 4, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 2],
[0, 0, 6, 6, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 8, 0, 4, 0, 2, 0],
[0, 6, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 10, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 2, 2, 4, 0, 2, 0],
[0, 0, 0, 6, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 8, 0, 8, 0, 0, 0, 2, 4, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 10, 8, 0, 2],
[0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 6, 2, 0, 0, 2, 6, 2, 4, 0, 4, 0, 2],
[0, 10, 0, 0, 0, 2, 2, 4, 0, 2, 0, 0, 0, 8, 0, 6, 6, 4, 0, 4, 2, 2, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 4, 0, 10],
[0, 4, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 4, 0, 8, 2, 12, 4, 8, 0, 0, 4, 0, 6, 2, 10, 0, 2],
[0, 0, 4, 8, 6, 2, 0, 0, 12, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 2, 10, 0, 0, 0, 0, 2, 2],
[0, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 6, 2, 0, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 4, 2, 10, 6, 2, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 8],
[0, 4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 16, 0, 2, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 4, 0, 2, 4, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0],
[0, 0, 4, 6, 6, 2, 8, 0, 4, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 2, 4, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 6, 2, 12, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 4, 2],
[0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 4, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 2, 4, 4, 0, 2, 0, 0, 6, 2, 2, 2, 6, 0, 0, 2],
[0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 10, 2, 0, 8, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 4, 2, 2, 0, 0, 2, 0, 2],
[0, 2, 0, 0, 0, 8, 4, 2, 4, 6, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 12, 4, 0, 0, 2, 0, 4],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 2, 8, 2, 2, 2, 2, 0, 0, 2, 2, 10, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 4, 0, 0, 6, 4, 4, 2, 4, 0],
[0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 2, 4, 6, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 6, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 4, 0, 4, 0, 0],
[0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 8, 0, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 2],
[0, 8, 4, 4, 0, 0, 12, 0, 6, 0, 6, 2, 0, 6, 4, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 8, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 6, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 4, 0, 0, 0],
[0, 6, 10, 6, 6, 4, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 0, 4, 4, 0, 0, 4, 0, 0, 10, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 10, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0],
[0, 2, 0, 4, 0, 8, 2, 0, 2, 4, 0, 2, 2, 0, 0, 4, 2, 0, 2, 4, 2, 4, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0],
[0, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 10, 0, 2, 4, 0, 2, 0, 6, 4, 2, 0, 4, 0, 6, 2, 0, 2, 0, 0, 10, 0, 0, 0, 0, 6, 0, 2, 0],
[0, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2]])
v = np.array([1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 1])
points = [v]
答案 0 :(得分：1)
您在上面发布的系统没有确切的解决方案。所以np.dot(AA,x) - u)永远不会收敛到机器精度。事实上，您的代码正在做的是找到系统唯一最小二乘解的正确数值近似值。
有很多方法可以了解系统无法提供解决方案的原因。一种方法是recall
线性系统
Ax=b是一致的，当且仅当A的等级等于[A|b]的等级时，矩阵A增加b}作为专栏。
您可以按如下方式在数字上估算排名：
# reshape the RHS to a column so we can combine it with AA
b = points[0].reshape((36,1))
# append the column to form the augmented matrix
AA_b = np.hstack((AA, b))
print("AA rank: %d" % np.linalg.matrix_rank(AA))
print("[AA|b] rank: %d" % np.linalg.matrix_rank(AA_b))
这表明AA的排名为35，但[A|b]的排名为36，因此系统无法提供解决方案。
你也可以通过将增强矩阵放入缩小的行梯形形式来说服自己。我能够在wxMaxima中很快完成这项工作，并验证增强矩阵是否等同于身份的RREF。同样这样做也是可能的，但似乎很慢：
AA_b.rref()