Question

我想找到图中2个顶点之间的下一个最短路径，并且路径具有正成本。允许下一个最短路径共享最短路径的边缘。我可以使用哪种算法？

Answer 1

使用K最短路径算法，其中k = 2，一些示例参考：

找到k个最短路径。 D.埃普斯坦。第35届IEEE Symp。 Comp的基础Sci。，Santa Fe，1994，pp.154-165。技术。 Rep.94-26，ICS，UCI，1994。 SIAM J. Computing 28（2）：652-673,1998。

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/pubs/Epp-TR-94-26.pdf

Answer 2

我怀疑这在运行时间方面是最佳的，但是：

在图G上使用Dijkstra算法得到路径P
对于路径P中的所有边E：
- 如果未连接G-E，请继续下一个边缘（转到2）
- 在G-E上使用Dijkstra算法查找路径X_i
- 如果当前X_i的长度短于所有其他X_i，请保存
for循环结束时的X_i是第二条最短路径

第二条最短的路径无法通过P中的所有边缘，但它可能会经历除了其中一条之外的所有边缘。我认为“第二短”不会多次使用边缘，否则第二短路径可能包含P.

Answer 3

一种方法是使用Floyd-Warshall算法找到所有对最短路径然后测试所有中间边缘是一种肯定 - 但可能不是最佳方式 - 来解决这个问题。这是一个很好的解释 http://hatemabdelghani.wordpress.com/2009/07/04/second-shortest-path/

Answer 4

这假设您可以重复使用边和节点：

直接的解决方案是扩展Djikstra算法。

不是为每个节点存储最小的成本及其相应的父级，而是存储两个最小的成本（及其各自的父级）。
对于优先级队列，存储节点，存储（节点，i）对的内容，所以你知道在传播过程中使用第一或第二路径。
在传播阶段注意保持多路径值的正确更新。

（我可能会遗漏一些重要细节，但基本想法就在这里......）

Answer 5

使用shortest path algorithm查找最短路径P.

然后您可以将此问题视为constraint satisfaction problem（其中约束是“非P的最短路径”），并使用backtracking algorithm查找不是最短路径的最短路径你已经找到的路径。

Answer 6

这个答案假设您正在寻找边缘不相交的第二条最短路径，这意味着第二条最短路径不能与最短路径共享任何公共边缘。

回想一下，两个节点A和B之间的网络中的maximum flow为您提供了这两个节点之间的边缘不相交路径的数量。还要记住，Edmonds-Karp等算法的工作方式是在每个步骤通过最短路径发送流量。

因此，如果两个节点之间的最大流量大于1，则此问题只有解决方案。 1，每个边的容量为1.如果是，找到两个增强路径，如Edmonds-Karp算法中所述，第二个是你的第二个最短路径。

请参阅this problem和this solution（说明是中文的。我无法翻译，babelfish也不能真正做到，但不会承认。代码（例如，很容易理解）。

Answer 7

如果您更喜欢学术性的实用解决方案，那么就是一个。

我通过设置对最短路径边缘的惩罚并再次运行搜索来解决这个问题。

E.g。最短路径长度为1000，罚分为10％，因此我搜索第二条最短路径1000＆lt; = length＆lt; = 1100。

在最坏的情况下，我找到了以前的最短路径在最好的情况下，我找到一个长度相同的分离路径在大多数情况下，我发现共享一些局部最佳子路径的路径。

增加惩罚迫使算法找到替代路线，而减少使得它共享容忍。

当我找到第二条最短路径时，我必须从计算长度中减去共享边上的惩罚总和，以得到实际长度。

对于第k个最短路径，我将惩罚设置为先前k-1个最短路径中使用的所有边。

Answer 8

您正在寻找docs。基本上，运行修改过的Dijkstra，但不要将边缘保留在min-heap上，而是要保留到目前为止找到的所有路径。

我更喜欢工作代码，因为魔鬼总是很详细：

@SuppressWarnings("unchecked")
public static Iterable<Integer>[] kShortestPaths(EdgeWeightedDigraph g, int s, int t, int k) {
    if (k <= 0) throw new IllegalArgumentException("k must be positive");

    boolean[] visited = new boolean[g.V()];
    int[] count = new int[g.V()];
    MinPQ<Map.Entry<Map.Entry<Integer, Double>, Queue<Integer>>> heap = new MinPQ<>(
            comparingDouble(e -> e.getKey().getValue())
    );
    Queue<Integer>[] p = (Queue<Integer>[]) new Queue<?>[k];

    heap.insert(new SimpleImmutableEntry<>(new SimpleImmutableEntry<>(s, 0.0d), new Queue<>()));

    int i = 0;
    while (!heap.isEmpty()) {
        Map.Entry<Map.Entry<Integer, Double>, Queue<Integer>> node = heap.delMin();
        Integer u = node.getKey().getKey();
        if (count[u] >= k) break;

        Queue<Integer> pathU = node.getValue();
        visited[u] = true;
        pathU.enqueue(u);

        if (u == t) {
            p[i] = new Queue<>();
            for (int w : pathU) {
                p[i].enqueue(w);
            }
            i++;
        }

        if (count[u]++ <= k) {
            double costU = node.getKey().getValue();
            for (DirectedEdge e : g.adj(u)) {
                int v = e.to();
                if (!visited[v]) {
                    Queue<Integer> pathV = new Queue<>();
                    for (int w : pathU) {
                        pathV.enqueue(w);
                    }
                    heap.insert(new SimpleImmutableEntry<>(new SimpleImmutableEntry<>(v, e.weight() + costU), pathV));
                }
            }
        }
    }
    return p;
}

EdgeWeightedDigraph和MinPQ来自k shortest path routing。

https://github.com/kevin-wayne/algs4

k = 1，p = [0，1，2，3]

k = 2，p = [0，4，5，3]

我可以使用哪种算法查找图中最短路径的旁边？

8 个答案: