Question

MAKE-SET(x）
    x.p = x
    x.rank = 0

UNION(x, y)
     LINK(FIND-SET(x),FIND-SET(y))

LINK(x, y)
    if x.rank > y.rank
        y.p = x
    else 
        x.p = y
        if x.rand == y.rank
            y.rank = y.rank +1

The FIND-SET procedure with path compression is quite simple:
FIND-SET(x)
    if x != x.p
        x.p = FIND-SET(x.p)
    return x.p

您可以在第21章 Introduction to Algorithms 3rd 中找到伪代码。

这是具有排名和路径压缩的不相交集林的伪代码。从伪代码中，我们可以看到每次联合运算之前，我们将首先找到每个节点的集合数。在具有路径压缩的FIND-SET操作中，x和y的高度将始终仅为2.因为x.p和y.p都将在FIND-SET之后指向set的根。为什么仍然需要按等级联盟？

Shahriar已经解决了我的问题，他的答案真是令人印象深刻！

Answer 1

请注意，我们仅在执行path compression操作时应用find-set，并且当我们执行两个union时，无法应用路径压缩。

按等级联合，我们注意这样一个事实，即具有较低等级（或较少深度/高度）的树的根被指向具有高等级（或更高深度/高度）的树的根）。这可以确保表示集合的树永远不会出现偏差。

执行按排名结合的示例：

depth=1,n=2 depth=0,n=1 depth=1,n=3 O U O = O / / \ O O O

如果我们没有按级别执行联合，那么树可能会变成这样：

depth=1,n=2 depth=0,n=1 depth=2,n=3 O U O = O / / O O / O 即它的高度增加了。

您可以进行摊销分析并计算find-set的时间复杂度，当按级别结合时，您会发现时间永远不会超过O(log2(n))。

因此，如果你没有按级别执行联合，那么find-set操作将花费O（d）时间（d表示树的深度），在最坏的情况下d可以成为n（集合中的元素数量）。因此，对于find-set操作，时间复杂度将首次成为O(n)。但是，对于下一次find-set操作，时间可能会减少，但重点是我们不希望O(n)时间进行任何find-set操作。因此，对于有多个联合操作的情况，最后有一个find-set操作，如果不使用O(n)，则会消耗union by rank时间。

我们通过秩和路径压缩同时使用联合，因为我们想要降低树的高度并使其小于log2（n）（n是不相交集中的元素数），最终目标是使树的高度几乎为一。

Answer 2

是的，x和y的深度为2，但这并不意味着根的高度发生了变化。

请注意，我们实际上从未减少任何根的等级。假设等级4的根有10个叶子节点，即10个节点在该特定集合中有3个边缘。现在通过路径压缩，您可能已经将这10个中的一个提升到2的深度，例如x和y。但是仍然有9个左，根的等级仍然是4.现在如果我们将这个集合与另一组等级1链接，我们当然不希望我们当前的根成为该新集合的子集，因为它＆＃39;将其他9个节点的深度转换为5.这就是为什么除了路径压缩之外我们仍然需要排名。

现在，如果不知何故所有这10个叶子节点都被提升到深度2，我们应该减少根的等级以反映它的适当高度，但增加的复杂性似乎并不值得麻烦。

对于不相交的森林，路径压缩就足够了，为什么我们需要按等级联合

2 个答案: