使用数字积分与scipy的3d形状的体积

Question

我已经编写了一个计算立方体和半空间交叉体积的函数，现在我正在为它编写测试。

我试过用数字计算音量：

scipy.integrate.quadpack.IntegrationWarning: The integral is probably divergent, or slowly convergent

...基本上我整合了整个立方体，每个点基于它是否在半空间内得到值1或0。 这变得非常慢（每次调用超过几秒）并不断向我发出警告，如

{{1}}

有没有更好的方法来计算这个量？

Answer 1

如果我们假设半空间的边界由$ \ {（x，y，z）\ mid ax + by + cz + d = 0 \} $和$ c \ not = 0 $给出，并且感兴趣的半空间是在平面下方（在$ z $ -direction中），那么你的积分由

给出

scipy.integrate.tplquad(lambda z, y, x: 1,
                        -0.5, 0.5,
                        lambda x: -0.5, lambda x: 0.5,
                        lambda x, y: -0.5, lambda x, y: max(-0.5, min(0.5, -(b*y+a*x+d)/c)))

由于$ a $，$ b $和$ c $中的至少一个必须非零，因此可以通过更改坐标来处理$ c = 0 $的情况。

Answer 2

集成

不连续功能的整合存在问题，尤其是在多维方面。需要进行一些初步工作，将问题简化为连续功能的组成部分。在这里，我计算出高度（上下）作为x和y的函数，然后使用dblquad：它返回36.2 ms。

我将平面方程表示为a*x + b*y + c*z = distance。 c的符号需要注意，因为平面可以是顶部或底部的一部分。

from scipy.integrate import dblquad
distance = 0.1
a, b, c = 3, -4, 2  # normal
zmin, zmax = -0.5, 0.5  # cube bounds

# preprocessing: make sure that c > 0
# by rearranging coordinates, and flipping the signs of all if needed

height = lambda y, x: min(zmax, max(zmin, (distance-a*x-b*y)/c)) - zmin
integral = dblquad(height, -0.5, 0.5, 
                   lambda x: -0.5, lambda x: 0.5,
                   epsabs=1e-5, epsrel=1e-5)

蒙特卡罗方法

随机选取样本点（蒙特卡罗方法）避免了不连续性的问题：对于连续函数，连续函数的精度大致相同，误差以1/sqrt(N)的速率减小，其中N是样本数点。

polytope package在内部使用它。有了它，计算就可以了

import numpy as np
import polytope as pc
a, b, c = 3, 4, -5  # normal vector
distance = 0.1 
A = np.concatenate((np.eye(3), -np.eye(3), [[a, b, c]]), axis=0)
b = np.array(6*[0.5] + [distance])
p = pc.Polytope(A, b)
print(p.volume)

这里A和b将半空间编码为Ax<=b：第一个修复行用于立方体的面，最后一个用于平面。

要更好地控制精度，可以自己实施蒙特卡罗方法（简单）或使用mcint包（一样简单）。

Polytope音量：线性代数的任务，不适用于积分器

你想要计算多面体的体积，这是一个由交叉半空间形成的凸体。这应该有一个代数解决方案。 SciPy有HalfspaceIntersection类，但到目前为止（1.0.0）没有实现查找这样一个对象的体积。如果您可以找到多面体的顶点，则可以使用ConvexHull类来计算体积。但事实上，似乎SciPy空间模块没有任何帮助。也许在SciPy的未来版本......

Answer 3

特征函数的积分在数学上是正确的，但不实用。一种更适合的方法是首先建立一个离散化的域版本，然后简单地总结一下小四面体的体积。

3D中的离散化可以通过pygalmesh（我的接口项目CGAL）来完成。以下代码将截止立方体离散化为

然后用meshio（我的另一个项目）读取文件，总结四面体体积

0.8050894798758184

您可以通过降低cell_size和/或edge_size来提高精确度，但网格划分需要更长的时间。此外，您可以指定“特征边”以准确地解析交叉边。即使最粗的单元尺寸，这也可以为您提供完全正确的结果。

import pygalmesh
import numpy
import meshio


c = pygalmesh.Cuboid([0, 0, 0], [1, 1, 1])
h = pygalmesh.HalfSpace([1.0, 2.0, 3.0], 4.0, 10.0)
u = pygalmesh.Intersection([c, h])
pygalmesh.generate_mesh(u, 'out.mesh', cell_size=3.0e-2, edge_size=3.0e-2)

points, cells, *_ = meshio.read('out.mesh')

def compute_tet_volumes(vertices, tets):
    cell_coords = vertices[tets]
    a = cell_coords[:, 1, :] - cell_coords[:, 0, :]
    b = cell_coords[:, 2, :] - cell_coords[:, 0, :]
    c = cell_coords[:, 3, :] - cell_coords[:, 0, :]
    # omega = <a, b x c>
    omega = numpy.einsum('ij,ij->i', a, numpy.cross(b, c))
    # https://en.wikipedia.org/wiki/Tetrahedron#Volume
    return abs(omega) / 6.0

print(numpy.sum(compute_tet_volumes(points, cells['tetra'])))

查看pygalmesh（我的一个项目）。它让你轻松创建复杂的三维网格，一旦你拥有网格，只需要总结四面体的体积。