Question

这里我使用伪代码来表示我的算法，它是 DFS 的变体
编码风格模仿算法简介，每当我们遇到一个顶点时，它的颜色都是 BLACK 。假设起始顶点是 START ，目标顶点为 TARGET ，图形表示为 G =（V，E）。更多的事情，假设图形已连接，并且连接牢固如果它是有向图。

FIND-ALL-PATH(G,START,END)
  for each vertex u in G.V
         u.color=WHITE
  path=0//store the result
         DFS-VISIT(G,START)



DFS-VISIT(G,u)
    if(u==TARGET)
       path=path+1
       return
    u.color=BLACK  
    for each v in G:Adj[u]
       if(v.color==WHITE)
           DFS-VISIT(G,v)
    u.color=WHITE;//re-paint the vertex to find other possible ways

如何分析上述算法的时间复杂度？如果它是正常的DFS那么当然是O（N + E），因为每个顶点只访问一次，并且每个边都被访问了两次。但是这个怎么样呢？似乎很难指定每个顶点或边被访问的时间。

Answer 1

要分析FIND-ALL-PATH的时间复杂度，让我们看一下DFS-VISIT的时间复杂度。我假设您使用邻接列表来表示图形。

在这里，在DFS-VISIT的一次调用中，连接到u的每个顶点（作为参数传递的顶点）将被探索一次（即顶点颜色将被更改为黑色）。由于这是一个递归函数，所以在每次递归中都会形成一个新的堆栈，每个堆栈中存在的集合G:Adj[u]只不过是与u相邻的元素。因此，所有列表中的每个节点将被一起检查（颜色被改变）一次，并且每当检查它们时，我们进行一致的工作（即O（1）操作）。在有向图的情况下存在总体E元素，而在邻接列表表示中的无指向图的情况下存在2E。所以我们说它的时间是O（E），其中E是边数。在一些书中，他们增加了额外的时间O（N），其中N是顶点的数量，因此他们说DFS-VISIT的总时间复杂度是O（N + E）（我认为额外O（N）时间的原因是for循环执行N次或者可能是其他的东西）。顺便说一句，N始终小于E，因此您可以忽略它或考虑它，它不会影响DFS-VISIT的渐近时间。

函数FIND-ALL-PATH的时间复杂度为 NFS时间复杂度DFS-VISIT ;其中N是图表中顶点的数量。所以我会说你上面写的算法与深度优先遍历算法不完全相同，但它会做与深度优先遍历相同的工作。您的算法所花费的时间更多，因为您为图表中的每个顶点调用了DFS-VISIT。您的函数FIND-ALL-PATH可以在调用DFS-VISIT函数之前进行优化，只需检查顶点的颜色是否更改为BLACK（这通常是在深度优先级中完成的）遍历）。即你应该写下这样的函数：

FIND-ALL-PATH(G,START,END)
  for each vertex u in G.V
         u.color=WHITE
  path=0//store the result
  for each vertex u in G.V
         if u.color is WHITE
                 DFS-VISIT(G,START)

现在，上面写的这个函数与DFS-VISIT具有相同的时间复杂度。

另请注意，将所有顶点的颜色初始化为WHITE需要一些时间，即O（N）操作。

因此，函数FIND-ALL-PATH的总体时间复杂度为 O（N）+ O（N *（N + E）），或者您可以忽略第一个O（N）（因为它与其他术语相比非常少。）

因此，时间复杂度= O（N *（N + E）），或者如果您假设DFS-VISIT函数只有O（E）时间，那么您可以说时间复杂度 O（N * E）。

如果您对上述任何一点有疑问，请告诉我。

找到从一个到另一个的所有可能方式的时间复杂性是什么？

1 个答案: