找到所有路径的复杂性是多少

Question

有一张地图，由六边形字段组成。在这张地图上我们有一个棋子。他不能两次访问任何地点。算法的复杂性是什么，它会在没有重复的情况下找到所有可能的路径？ （基本上找到所有可能的路径，没有必要通过所有的领域，因为这可能会使自己进入一个角落，只要哈哈可以移动，他就会去。）

Answer 1

复杂性为O（5 ⁿ ）。

• 除了第一个以外的每个领域，最多可以进行5次移动。
• 如果将pawn移动到某个字段，它会创建一个唯一的路径（无需检查是否已访问该路径）。
• 跟踪可以从任何给定字段访问的字段可以在O（1）中完成。

可能存在下限，具体取决于地图的形状。

Answer 2

首先是给定 n个字段的地图和给定开始位置（即专为配置和起始位置设计的算法）的答案范围：来自O（n ）（O（1）如果可以有孤立的格子）到O（e ^ n）。

我的意思是，如果map是hexes行，如果起始位置在行的末尾只有1个路径，否则只有2个路径，无论n的值是多少。如果map是一个hexes圆，则总有一条路径。另一方面，如果地图的重要部分是连接的十六进制的“正方形”，则路径数量呈指数增长，并且找到所有路径的算法不能比这更快（即使路径有些显而易见，我们仍然需要输出它们。）

如果地图的配置和起始位置也是算法的输入，问题就变得更加困难：理论上，算法可以先尝试“分析”地图，看看它是否“具体” （例如，地图可以有重复模式，只能分析一次）并且比Oswald的算法更好地使用这样的地图。

对于由连接的六角形组成的“平均”地图，路径数似乎是指数式的（我没有严格的证明），因此算法复杂度也是指数式的（可以不会更好，Oswald的算法达到了这个极限。平均随机地图路径的指数的精确值将 hard 进行评估，可能不需要。

Answer 3

如果我在随机地图上正确理解了问题，此算法的复杂性将为O(x)，其中x是此地图的答案。