因子2逼近

Question

想象一下，你给出了3个维度中n个点的集合S.任意2点之间的距离是简单的欧几里德距离。您希望从该集合中选择k个点的子集Q，使得它们彼此相距最远。换句话说，不存在k点的其他子集Q'，使得Q中所有成对距离的min小于Q'中的min。

如果n约为1600万，k约为300，我们如何有效地做到这一点？

我的猜测是，这个NP难，所以我们可能只想关注近似。我能想到的一个想法是使用多维缩放对一行中的这些点进行排序，然后使用二进制搜索的版本来获得该行上最远的点。

Answer 1

这被称为离散p色散（maxmin）问题。

White (1991)中证明了最优边界，Ravi et al. (1994)给出了问题的因子2近似值，后者证明了这种启发式方法是最好的（除非P = NP）。

因子2逼近

因子2近似如下：

Let V be the set of nodes/objects
Let i and j be two nodes at maximum distance
Let p be the number of objects to choose
p = set([i,j])
while size(P)<p:
  Find a node v in V-P such that min_{v' in P} dist(v,v') is maximum
  \That is: find the node with the greatest minimum distance to the set P
  P = P.union(v)
Output P

您可以像这样在Python中实现这一点：

#!/usr/bin/env python3

import numpy as np

p = 50
N = 400

print("Building distance matrix...")
d = np.random.rand(N,N) #Random matrix
d = (d + d.T)/2         #Make the matrix symmetric

print("Finding initial edge...")
maxdist  = 0
bestpair = ()
for i in range(N):
  for j in range(i+1,N):
    if d[i,j]>maxdist:
      maxdist = d[i,j]
      bestpair = (i,j)

P = set()
P.add(bestpair[0])
P.add(bestpair[1])

print("Finding optimal set...")
while len(P)<p:
  print("P size = {0}".format(len(P)))
  maxdist = 0
  vbest = None
  for v in range(N):
    if v in P:
      continue
    for vprime in P:
      if d[v,vprime]>maxdist:
        maxdist = d[v,vprime]
        vbest   = v
  P.add(vbest)

print(P)

确切的解决方案

您也可以将此模型建模为MIP。对于6000秒后p = 50，n = 400的情况，最优缺口仍为568％。近似算法花了0.47s来获得100％（或更小）的最佳间隙。天真的Gurobi Python表示可能看起来像这样：

#!/usr/bin/env python
import numpy as np
import gurobipy as grb

p = 50
N = 400

print("Building distance matrix...")
d = np.random.rand(N,N) #Random matrix
d = (d + d.T)/2             #Make the matrix symmetric

m = grb.Model(name="MIP Model")

used  = [m.addVar(vtype=grb.GRB.BINARY) for i in range(N)]

objective = grb.quicksum( d[i,j]*used[i]*used[j] for i in range(0,N) for j in range(i+1,N) )

m.addConstr(
  lhs=grb.quicksum(used),
  sense=grb.GRB.EQUAL,
  rhs=p
)

# for maximization
m.ModelSense = grb.GRB.MAXIMIZE
m.setObjective(objective)

# m.Params.TimeLimit = 3*60

# solving with Glpk
ret = m.optimize()

缩放

显然，初始点的O（N ^ 2）缩放比例不好。通过识别该对必须位于数据集的凸包上，我们可以更有效地找到它们。这为我们提供了一种 O（N log N）查找对的方法。找到它后，我们将像以前一样进行操作（使用SciPy进行加速）。

最好的缩放方式是使用R *-树有效地找到候选点p和集合P之间的最小距离。但是，这在Python中无法高效完成，因为for循环是仍然参与其中。

import numpy as np
from scipy.spatial import ConvexHull
from scipy.spatial.distance import cdist

p = 300
N = 16000000

# Find a convex hull in O(N log N)
points = np.random.rand(N, 3)   # N random points in 3-D

# Returned 420 points in testing
hull = ConvexHull(points)

# Extract the points forming the hull
hullpoints = points[hull.vertices,:]

# Naive way of finding the best pair in O(H^2) time if H is number of points on
# hull
hdist = cdist(hullpoints, hullpoints, metric='euclidean')

# Get the farthest apart points
bestpair = np.unravel_index(hdist.argmax(), hdist.shape)

P = np.array([hullpoints[bestpair[0]],hullpoints[bestpair[1]]])

# Now we have a problem
print("Finding optimal set...")
while len(P)<p:
  print("P size = {0}".format(len(P)))
  distance_to_P        = cdist(points, P)
  minimum_to_each_of_P = np.min(distance_to_P, axis=1)
  best_new_point_idx   = np.argmax(minimum_to_each_of_P)
  best_new_point = np.expand_dims(points[best_new_point_idx,:],0)
  P = np.append(P,best_new_point,axis=0)

print(P)

Answer 2

我也非常确定问题是NP-Hard，我发现最类似的问题是k-Center Problem。如果运行时比正确性更重要，那么贪婪算法可能是您的最佳选择：

Q ={}
while |Q| < k
    Q += p from S where mindist(p, Q) is maximal

旁注：在类似的问题中，例如，set-cover problem可以证明贪婪算法的解决方案至少比最优解决方案好63％。

为了加快速度，我看到了3种可能性：

首先在R-Tree中对数据集进行索引，然后执行贪婪搜索。 R-Tree的构造是O（n log n），但是虽然是为最近邻搜索而开发的，但它也可以帮助您找到O（log n）中一组点的最远点。这可能比天真的O（k * n）算法更快。
从1600万个点中抽取一个子集，并对子集执行贪婪算法。无论如何，你都是近似的，所以你可能会更加准确。您还可以将其与1.算法结合使用。
使用迭代方法，当您没有时间时停止。这里的想法是从S中随机选择k个点（让我们称之为Q'）。然后在每个步骤中，将点p_从具有最小距离的Q'切换到Q'中的另一个距离，从S开始随机点。如果得到的集Q''更好，则继续Q''，否则重复Q' 。为了不被卡住你可能想要从Q'中选择另一个点而不是p_如果你找不到足够的替代品进行几次迭代。

Answer 3

如果你能负担得起~k * n距离计算，那么你可以

找到分布点的中心。
选择距离中心最远的点。（并将其从未选择的点集中删除）。
找到距离所有当前所选点最远的点并选择它。
重复3.直到你以k点结束。

Answer 4

找出所有点的最大范围。分割为7x7x7体素。对于体素中的所有点，请找到最靠近其中心的点。返回这些7x7x7点。一些体素可能不包含点，希望不会太多。

在给定的点集中选择最远点的子集

4 个答案:

因子2逼近

确切的解决方案

缩放