计算最复杂的大罢工

Question

在我的算法课程中，我们学习了复发，但我完全迷失了，不知道该怎么做。我从Bowdoin Solving Recurrences with the Iteration/Recursion-tree找到了这个pdf，它解释得有点好，但提供的例子并不包括Big Oh。我有下面列出的问题之一。我们如何操纵递归迭代树以合并O（n ^ 2）？如果有人能够解释在涉及复发的Big Oh的情况下该做什么，我将不胜感激。谢谢

T(n) = T(n−4)+O(n^2)

Answer 1

您可以将big-O视为任何函数，然后尝试解决重复问题。在这种情况下，你可以做

T(n)   = T(n-4)  + O(n²)
T(n-4) = T(n-8)  + O(n²)
T(n-8) = T(n-12) + O(n²)
.
.
.
T(0) = 0

请注意，O(n²)与O((n - 4)²)基本相同。

所以通过替换你到达

T(n) = O(n²) + O(n²) + O(n²) + ... + 0

您可以轻松地显示此总和有n/4个字词。所以这是

T(n) = ¼n * O(n²) = O(n³)

或者，请记住f(n) = c*n²格式中的任何函数均为O(n²)。因此，您也可以使用其中一个函数替换O(n²)，并使用以下不等式渐近地工作：

T(n) ≤ T(n-4) + c*n²

其余部分遵循相同的想法。

Answer 2

我想通过陈述以下内容来跟进其他答案：

  

在一般情况下，你不能简单地将出现次数乘以每次出现的复杂性。

安全的做法是精确评估复发 - 即没有O符号，并且重新应用＆＃34;最后只通过领先的订单期限的O符号。

让我们看看这个例子。定义一个函数S(n)，它计算精确的系列值：

我们假设递归在n <= 0时停止，然后在扩展系列中有floor(n / 4)个术语：

在步骤（*）中，我们使用standard formulae来求和自然数的幂（正整数），在最后一步中，我们收集了与n^3成比例的所有项，这是领先的权力。因此，我们可以安全地得出 T(n) = O(S(n)) = O(n^3) 的结论。

天真的方法可能在哪里失败？请考虑以下示例：

其中N是一个等于n的初始值的参数，即：

现在，我们可以在天真的方法中做出什么假设？

1. 从n = N开始，假设复杂性的 lower 界限只是假设n = N为所有 {{1}条款。但是这给了0！
2. 假设停止条件是log时，最大的术语也是最后一个 - n = 1。整个总和中显然有log N个术语，因此最终的复杂性为N。

（2）似乎合理，但这是正确的吗？

让我们使用上述程序：



我们在（1）（2）中使用了一些对数规则，在（3）中使用了Stirling's approximation。因此，最终的复杂性O(N log N) = O(n log n)是：



正如您所看到的，天真的乘法方法给出了T(n)而不是O(n log n)的错误结果。

为什么我选择这个相当深奥的反例来为你烦恼（道歉！）？ Because I have seen this mistake made before