动态编程用于攀爬步骤的方式

Question

问题是使用动态编程编写一个函数，用于攀爬N个步骤的方法数量。考虑到一次只能攀爬一步或两步。

例如，如果N = 3，则函数应返回[（1,1,1），（1,2），（2,1）]。 我已经在python 3中编写了一个代码来计算。代码工作正常，但是当N大到40时需要相同的时间，或者与不使用动态编程的相同递归代码相比，spyder（Anaconda）应用程序崩溃。

它不应该比正常方式更有效吗？

我附上了以下的DP代码

def stepsdyn(N,memo={}):
    """
    L1 is the list of all possibilities in the left side of the search tree,
    that is with 1 as the last element
    L2 is the list of all possibilities in the right side of the search tree
    memo stores the results of corresponding N
    returns memo[N]
    """
    L1=[]
    L2=[]
    if N==1:
        return [(1,)]
    elif N==0:
        return [()]
    else:
        try:
             return memo[N]
        except:
             for items in stepsdyn(N-1,memo):
                 items+=(1,)
                 L1.append(items)
             for items in stepsdyn(N-2,memo):
                 items+=(2,)
                 L2.append(items)
             memo[N]=L1+L2
             return memo[N] 

Answer 1

基本理念

在计算机编程中，最基本和最常见的权衡是时间效率和空间效率之间的权衡。记忆可能对时间有利，但对空间有害，这就是这种情况。您的程序崩溃了，因为该memoization字典包含大量数据。马上你的重复关系意味着你永远不需要在N - 3点保存的数据，这样你就可以摆脱它。这有点减轻了记忆负担（但不是很多）。

代码

的问题/疑虑

1. 不要记住您不需要的值（见上文）。
2. Python对可变默认参数的处理意味着memo dict只创建一次。有关详细信息，请参阅this SO post。这也意味着字典在函数返回后坐在（在内存中）...不好。通常不要使用可变的默认参数，除非你有令人信服的理由。
3. list理解可以是a bit faster而不是显式的循环。更重要的是，在这种情况下，它们更具可读性。
4. 这最后一个更像是风格的东西。您正在将1或2添加到递归调用返回的项的尾部。通常，这些元素会添加在头部。

解决方案

相同的算法，但更多的内存和时间

def stepsdyn_new(N, memo):
    try:
        return memo[N]
    except KeyError:
        l1 = [(1,) + items for items in stepsdyn_new(N - 1, memo)]
        l2 = [(2,) + items for items in stepsdyn_new(N - 2, memo)]
        memo.pop(N - 2)
        memo[N] = l1 + l2
        return memo[N]

注意：我将基本案例作为参数传递，但如果需要，您可以添加原始if / else。

返回字符串

def stepsdyn_str(N, memo):
    try:
        return memo[N]
    except KeyError:
        l1 = ['1' + x for x in stepsdyn_str(N - 1, memo)]
        l2 = ['2' + x for x in stepsdyn_str(N - 2, memo)]
        memo.pop(N - 2)
        memo[N] = l1 + l2
        return memo[N]

这将返回一个字符串列表（例如['111'，'12'，'21']）而不是元组列表。因为python字符串中的每个字符只使用1个字节（而不是列表/元组中每个元素的8个字节），这会节省大量内存。可以使用以下代码将结果转换回元组列表（尽管这会导致额外的速度/内存损失）：

[tuple(map(int, tuple(x))) for x in stepsdyn_str(N, {0: [''], 1: ['1']})]

效率

注意：steps函数是一个非备忘的解决方案（下面包含完整性）。

速度

|--------------|----------------------------|----------------------------|
|              |           N = 20           |           N = 33           |
|--------------|----------------------------|----------------------------|
| steps        | 47 ms ± 7.34 ms per loop   | 41.2 s ± 1.6 s per loop    |
|--------------|----------------------------|----------------------------|
| stepsdyn     | 10.1 ms ± 1.23 ms per loop | 9.46 s ± 691 ms per loop   |
|--------------|----------------------------|----------------------------|
| stepsdyn_new | 6.74 ms ± 1.03 ms per loop | 7.41 s ± 396 ms per loop   |
|--------------|----------------------------|----------------------------|
| stepsdyn_str | 3.28 ms ± 68.8 µs per loop | 3.67 s ± 121 ms per loop   |
|--------------|----------------------------|----------------------------|

获得使用：

%timeit steps(N)
%timeit stepsdyn(N, memo={})
%timeit stepsdyn_new(N, {0: [()], 1: [(1,)]})
%timeit stepsdyn_str(N, {0: [''], 1: ['1']})

内存

在评估N=33：

的功能时，这些估算特定于我的16GB内存MBP
• steps：最大内存10.8％
• stepsdyn：最大内存22.0％
• stepsdyn_new：最大内存15.7％
• stepsdyn_str：3.6％最大内存

非记忆解决方案

def steps(N):
    if N == 0:
        return [()]
    elif N == 1:
        return [(1,)]
    else:
        l1 = [(1,) + items for items in steps(N - 1)]
        l2 = [(2,) + items for items in steps(N - 2)]
        return l1 + l2

Answer 2

如果你想要一个简洁的方法来计算数字的攀爬N步的方法，假设一次只能攀爬一步或两步，我们可以实现像这样：

def f(n):
  a, b = 0, 1

  for i in xrange(n):
    a, b = b, a + b

  return b

输出：

   f(3)
=> 3
   f(5)
=> 8
   f(40)
=> 165580141
   f(120)
=> 8670007398507948658051921L

请注意，结果只是(n + 1) Fibonacci个数字。