Question

我遇到了这个问题：

http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-7-coin-change/

给定值N，如果我们想要改变N美分，并且我们每个S = {S1，S2，..，Sm}值的硬币都有无限供应，我们可以通过多少方式进行更改？硬币的顺序无关紧要。

例如，对于N = 4和S = {1,2,3}，有四个解：{1,1,1,1}，{1,1,2}，{2,2}， {1,3}。因此输出应为4.对于N = 10且S = {2,5,3,6}，有五种解决方案：{2,2,2,2,2}，{2,2,3,3}， {2,2,6}，{2,3,5}和{5,5}。所以输出应该是5。

我提出了解决方案：

// recurrence relation
count[N] = count[N-d] for all denomination <= N

Source code
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public static int numWays(int N, int[] denoms) {
  if (N == 0)
     return 0;

  int[] ways = new int[N+1];
  ways[0] = 1;

  for (int i=1; i<=N; i++) {
     ways[i] = 0;
     for (int d : denoms) {
        if (d <= i) {
           ways[i] += ways[i-d];
        }
     }
  }

  return ways[N];
}

但这会计算具有相同面额但顺序不同的重复项。例如，如果面额= {1,2}且N = 3，那么它会计算{1,1,1}，{2,1}，{1,2}，它们具有重复的条目{1,2}。

我看到链接here中描述的DP解决方案避免了重复。我理解递归关系是如何工作的，但除了我的解决方案之外，我无法理解它是如何能够避免重复的。请解释背后的想法。

Answer 1

让C(i, j)使用面额硬币i来计算总S1, ..., Sj的方法数量。您的代码实现了以下重复（有序方式）。

C(i, m) | i <  0 = 0
        | i == 0 = 1
        | i >  0 = sum_{j = 1}^m C(i - Sj, m)

链接代码实现了不同的重复（无序方式）。

C(i, j) | i <  0           = 0
        | i == 0           = 1
        | i >  0 && j <= 0 = 0
        | i >  0 && j >  0 = C(i - Sj, j) + C(i, j - 1)

两个代码之间的区别很微妙：或多或少是嵌套循环的方式。在继续i之前，您的i + 1添加了所有字词，但链接代码为每个j添加i字词，然后为j + 1字词添加i字词对于每个Sj，等等。因此，当链接代码考虑使用来自小计i的面额 - S1, ..., Sj硬币的可能性时，它隐含地仅考虑那些继续使用的解决方案面额硬币i - Sj，因为{{1}}的当前总数不包括使用其他硬币的可能性。

金额N的变更方式

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