服用'N`糖果的方式数量

Question

我有一个问题，我不知道如何开始解决它。你知道某人的公式，算法或问题类型吗？

我只有N，N个糖果，而且我需要计算服用N糖果的方式数量，但除了第一个糖果外，所用的糖果必须是与以前拍摄的糖果相邻。例如，如果N = 3有四种方法：

• 先取1号糖果;然后糖果2,3。
• 先拿2号糖果;然后是1,3。
• 先拿2号糖果;然后3,1。
• 先取3号糖果;然后糖果2,1。

Answer 1

n糖果的方式数量是pascal's triangle n-1行的总和。

Answer 2

如果先拿糖果k，那么选择（n-1，k-1）方式选择其余的（其中，选择（n，k）是二项式系数nCk）。那是因为在第一次之后，你要么必须把最右边的非选择糖果带到k的左边，要么把最左边的未选择糖果带到k的右边，并且k左边有（k-1）个糖果。

总结k，给出考虑第一选择的所有可能方法：sum（k = 1 ... n）选择（n-1，k-1）。

由于选择（n-1，k-1）是从n-1项中选择k-1项的方式数，因此该总和等于从n-1中选择任意数量项的方式数项目。那是2 ^（n-1）。

Answer 3

看看模式：

number of candies
1   2   3   4
1   12  123 1234
    21  213 2134
        231 2314
        321 2341
            3214
            3241
            3421
            4321
1   2   4   8
total ways

这会让你想起什么吗？

Answer 4

我们先说我们先吃i-th糖果。然后我们左侧有i - 1个糖果，右侧有N - i个糖果。接下来每一颗糖果都是从左侧部分最右侧，或从右侧部分最左侧。左侧和右侧部分是独立的，因此获取所有糖果的可能方式的数量是序列LLLL....LLLRRR....RRR的唯一排列数，其中i - 1 L's和N - i {{1} }。

此类排列的总数为：

R's

现在，如果我们总结所有可能的SequenceLength!/(count(L)!*count(R)!) = (N - 1)!/((i - 1)! * (N - i)!) 值，我们有：

Answer 5

您无需通过二项式系数。

有长度为n-1的Rs和Ls的2 ^（n-1）个序列。通过记下你的下一个糖果是否在你之前吃过的糖果的右边或左边，这些都是对糖果序列的双向投射。任何Rs和Ls序列唯一地确定第一个糖果的位置：如果有Ls，那么第一个糖果必须位于a + 1的位置。

Answer 6

另一种实现，在理论上可能更有用：

给出1个索引数组C糖果大理石（1个尚未拍摄，0个拍摄，全部从1开始）和起点N：

1. 如果N为负数，零或大于C的大小，则不执行任何操作。
2. 如果C[N]为0，则不做任何操作而结束。
3. 如果C[N]为1，则将其设置为0，将可能路径数加1，然后针对此算法检查C[N-1]和C[N+1]。

只需对C中的每个有效索引重复此算法。另外，请确保每次递归都有C的副本，而不是原始C，但它们都共享路径总数。

单步执行示例的第一部分：

1. C[1]为1，因此我们将其设置为0，添加1，然后选中C[0]和C[2]。
2. 0为0，所以我们停止递归。
3. C[2]为1，因此我们将其设置为0并检查C[1]和C[3]。
4. C[1]为0。
5. C[3] is 1, so we set it to 0 and check C [2] and C [4]`。
6. C[2]为0。
7. 4大于3.

重复N=2和N=3，对于更长的数组，只需循环。