计算总和N的方法

Question

对于任何非负整数K，假设我们正好有两个值为2 ^ K的硬币（即2的K次幂）。

现在我们给了一个很长的N.我们需要找到不同方式的数量，我们可以用我们拥有的硬币来表示N值。

（如果在表示中出现不同次数的值，则认为两个表示不同。）

示例：设N = 6然后回答为3，因为在这种情况下可能有以下三种表示形式：

{1, 1, 2, 2}
{1, 1, 4} and 
{2, 4}

如果N可以达到10 ^ 18，该如何做？

Answer 1

我们可以从简单的解决方案开始，我们有一个2，其余1。这当然要求N至少为3.否则，没有解决方案：

coins1 = N - 2
coins2 = 1
nSolutions = 1

让我们首先讨论找到M等硬币的可能合并操作的数量的任务，其中必须合并每个硬币（即，仅使用单个硬币类型）。这是M到2的可能整数除法数。此过程可以缓存中间结果以更快地执行后续调用（请参阅动态编程）。

但这有用吗？在当前状态下，我们现在可以随后为一个1's交换两个2。这可以完成，直到不再有两个1's，总共floor(N/2 - 1)次。在每次合并之后（实际上在每次合并之后就足够了），我们必须检查所有2's可以合并的频率。该州仍有1's，因此我们无法使用其他类型的硬币：

while(coins1 >= 3)
{
    coins1 -= 2;
    coins2 += 1;
    nSolutions += 1;
    nSolutions += findNumberOfMerges(coins2); //this could be improved
}

如果剩下while，则剩下一个或两个1's。如果剩下一个，我们就完成了，因为这个必须始终存在，我们已经检查了所有可能的组合，以不同的方式表示2's。

if(coins1 == 1)
    return nSolutions;

在另一种情况下，我们可以再次合并。但是，这不会导致有效状态，因为没有第二种硬币类型。但我们可以再次合并以获得有效状态（一个4（变为coins2），其余2's（变为coins1））：

coins1 = coins2 + 1 - 2;
coins2 = 1;
nSolutions += 1;

现在我们的状态与开头类似，因此我们可以再次运行整个过程。并且一次又一次，直到它返回。