合并重叠的轴对齐矩形

Question

我有一组轴对齐的矩形。当两个矩形重叠（部分或完全）时，它们将合并到它们的公共边界框中。此过程以递归方式工作。

检测所有重叠并使用union-find形成组，您最终合并 将无效，因为两个矩形的合并覆盖了更大的区域并可以创建新的重叠。 （在下图中，合并了两个重叠的矩形后，会出现新的重叠。）

在我的情况下，矩形的数量是中等的（比如N <100），可以使用强力解决方案（尝试所有对，如果发现重叠，则从头开始合并并重新启动）。无论如何，我想降低复杂性，在最坏的情况下可能是O（N³）。

有任何建议如何改善这个？

Answer 1

我认为R-Tree会在这里完成工作。 R-Tree索引矩形区域，允许您在O（log n）中插入，删除和查询（例如，交叉查询）低维度的“普通”查询。

我们的想法是连续处理您的矩形，对于您执行以下操作的每个矩形：

1. 对当前R-Tree执行交叉查询（空中的 开始）

2. 如果有结果，则从R-Tree中删除结果，     将当前矩形与所有结果矩形合并并插入     新合并的矩形（最后一步跳转到第1步。）。

3. 如果没有结果，只需在R-Tree中插入矩形

总共会执行

• O（n）在步骤1中交叉查询。（O（n log n））
• O（n）在步骤3中插入步骤（O（n log n））
• 在步骤2中最多n次删除和n次插入步骤。这是因为每次执行步骤2时，将矩形数减少至少1（O（n log n））

理论上你应该使用 O（n log n），但是最后的合并步骤（使用大矩形）可能选择性低，需要的时间超过O（log n），但是根据数据分布，这不应该破坏整个运行时间。

Answer 2

使用平衡的标准化四叉树。

规范化：收集所有x坐标，对它们进行排序，并用排序数组中的索引替换它们。 y坐标也一样。

平衡：构建四叉树时始终在中间坐标处分割。

因此，当你得到一个矩形时，你想要用树的一些id标记树中正确的节点。如果您在下面找到任何其他矩形（这意味着它们将重叠），请将它们聚集在一组中。完成后，如果向量不为空（您找到重叠的矩形），那么我们创建一个新的矩形来表示子矩形的并集。如果计算的矩形大于您刚插入的矩形，则使用新计算的矩形再次应用算法。重复此操作直到它不再生长，然后移动到下一个输入矩形。

对于性能，四叉树中的每个节点都存储与该节点重叠的所有矩形，并将其标记为终端节点。

复杂性：初始标准化为O(NlogN)。插入和检查重叠将为O(log(N)^2)。您需要对原始N矩形以及重叠执行此操作。每次找到重叠时，都会消除至少一个原始矩形，这样您最多可以找到（N-1）个重叠。总的来说，你需要2N的操作。总的来说，复杂性将是O(N(log(N)^2))。

这比其他方法更好，因为您不需要检查任何到任何矩形的重叠。

Answer 3

这可以使用平面扫描和空间数据结构的组合来解决：我们沿扫描线合并交叉矩形，并将扫描线后面的任何矩形放到空间数据结构中。每当我们得到一个新合并的矩形时，我们会检查与这个新矩形相交的任何矩形的空间数据结构，如果找到则合并它。

如果扫描线后面的任何矩形（R）与扫描线下的某个矩形（S）相交，则最靠近扫描线的R的两个角中的任何一个都在S内。这意味着空间数据结构应存储点（两点）对于每个矩形）并回答有关位于给定矩形内的任何点的查询。实现这种数据结构的一种显而易见的方法是分段树，其中每个叶子包含在相应的y坐标处具有顶侧和底侧的矩形，并且每个其他节点指向包含最右边的矩形的其后代之一（其右侧最接近于扫线）。

要使用这样的分段树，我们应该压缩（标准化）矩形角的y坐标。

1. 压缩y坐标
2. 按左侧x坐标对矩形进行排序。
3. 将扫描线移动到下一个矩形，如果它通过某些矩形的右侧，则将它们移动到分段树。
4. 检查当前矩形是否与扫描线相交。如果没有，请转到第3步。
5. 检查在步骤4中找到的矩形的并集是否与段树中的任何内容相交并递归合并，然后转到步骤4.
6. 当步骤3到达列表末尾时，获取扫描线下的所有矩形和段树中的所有矩形，并解压缩它们的坐标。

最坏情况时间复杂度由段树确定：O（n log n）。空间复杂度为O（n）。