解释逐步达到目标位置背后的数学

Question

我正试图让一个物体位置到达另一个物体。而不是直接使用两者之间的矢量差异，而是根据归一化的差异向量来向前移动。但是我看到人们以一种奇怪的方式计算它。

这是一些伪代码。我们假设“A”想要转移到B.

// called every frame
function update()
{
    Vec3 diff = B.position - A.position;
    diff/=100;   
    A.position = A.position + diff;
}

当然，达到目标位置的方法涉及阻尼。确实， 它需要反复迭代。无论如何，它最终到达目标位置。那背后的数学是什么？我需要微积分来解决它吗？

Answer 1

你还在使用它们之间的矢量差异，你只是在每一步向距离B移动1％的距离。当距离很远时，步骤越大，接近时步长越小。

此代码具有很酷的优势。希望它更快地接近：除以较小的数字。希望它接近慢：除以更大的数字。

此外，位置B可以是移动物体。向B移动，B移动。在下一步中，重新计算向量，使A移向新的B位置。

Answer 2

Zeno's paradox的阴影。在每个步骤之后，两个位置之间的剩余距离是前一步骤中剩余距离的0.99倍，并且当（n）变为无穷大时，（0.99）^ n变为零。在无限远之前，距离将缩小到小于一个像素。数据类型和舍入错误给出了一个复杂的因素，因为可以想象diff可能在两个位置相同之前下溢到0（如果您使用浮点数来表示它们）。

Answer 3

两个很好的答案，但他们没有进入算法背后的数学理论。该代码实际上描述了linear first-order ordinary differential equation。

SO不支持Latex，所以我只是把它写成文本。 ODE描述如下：

  

d a / dt = 1/100 *（ - a + b ）

我使用粗体表示法，因为a和b可以是矢量。如果您按照上面的链接，您可以看到等式可以重写为

  

da / dt + p（t）* a = g（t）

p(t) = 1/100和g(t) = 1/100 * b的位置。从此开始（再次链接）mu(t)= exp(1/100 * t)和目标：

  

K =积分（1/100 * b（t）* exp（-1/100 * t）dt）

这提供了一般解决方案：

  

a（t）= K + C * exp（-1/100 * t）

，其中K和C取决于b的值，resp。 a的初始值。如果b（t）是常数，那么

  

a （t）= b +（ a （0） - b ）* exp（ - 100分之1* T）

请记住exp（0）= 1和exp（-infinity）= 0

这一切意味着什么？

A遵循从起点到B的指数路径：最初它快速移动，但距离B越近越慢。

我提到的链接显示了这样一个指数曲线的例子，对于一些不同的起点，都是50：