如何计算该算法的最坏情况分析？

Question

sum = 0;
for(int i = 0; i < N; i++)
    for(int j = i; j >= 0; j--)
       sum++;

据我所知，第一行是1次操作，第2行是(i+1)次操作，第3行是(i-1)次操作，第4行是n次操作。这是否意味着运行时间为1 + (i+1)(i-1) + n？只是这些让我困惑的最后一步。

Answer 1

要分析算法，您不想逐行询问“此特定行有多长时间贡献？”原因是每行不执行相同的次数。例如，与仅运行一次的第一行相比，最里面的行执行了很多次。

要分析这样的算法，请尝试识别其值在算法总运行时间的常数因子内的一些数量。在这种情况下，该数量可能是“行sum++执行多少次？”，因为如果我们知道这个值，我们就知道算法中两个循环花费的总时间。为了解决这个问题，让我们来看看这些循环会发生什么。在外循环的第一次迭代中，i == 0因此内部循环将只执行一次（从0倒数到0）。在外循环的第二次迭代中，i == 1与内循环执行恰好两次（先用j == 1，一旦与j == 0。更一般地，关于外部环路的第k次迭代，内循环执行k + 1次。这意味着最内层循环的迭代总数由

给出

1 + 2 + 3 + ... + N

此数量可以显示为等于

N (N + 1)      N^2 + N    N^2    N
---------   =  ------- =  --- + ---
    2             2        2     2

这两个术语，在N^2 / 2术语是主导生长的术语，并且因此，如果我们忽略它的常数因子，我们得到的O的运行时（N ² ）。

不要把这个答案视为你应该记住的东西 - 想一想得到答案所需的所有步骤。我们首先找到一些要计算的数量，然后看看这个数量是如何受到循环执行的影响。由此，我们能够得到该数量的数学表达式，然后我们将其简化。最后，我们得到了结果表达式并确定了主导项，它作为整体函数的大O.

Answer 2

从里到外工作。

sum++

这是一个单独的操作，因为它不重复。

for(int j = i; j >= 0; j--)

这循环i + 1次。那里有几个操作，但您可能并不是要计算asm指令的数量。所以我假设这个问题是i + 1的乘数。由于循环内容是单个操作，因此循环及其块执行i + 1操作。

for(int i = 0; i < N; i++)

这循环N次。和之前一样，这是N的乘数。由于块执行i + 1运算，因此该循环总共执行N（N + 1）/ 2次运算。这就是你的答案！如果你想考虑大O复杂性，那么这简化为O（N ² ）。

Answer 3

它不是附加的：内部循环在外循环的每次迭代中发生一次。所以它是O（n ² ）。

顺便说一句，这是为什么我们为这种事情使用渐近符号的一个很好的例子 - 取决于“操作”的定义，计数的确切细节可能变化很大。 （比如，sum++是单个操作，还是add sum to 1 giving temp; load temp to sum？）但是因为我们知道所有这些都可以隐藏在一个常数因子中，所以它仍然是O（n ^2功能）。

Answer 4

没有;您不计算每行的特定操作数，然后将其添加。像'for'这样的结构的整个要点是使给定的代码行可以运行多次。您应该使用思维和逻辑技能来计算“sum ++”行将运行的次数，作为N的函数。提示：每次遇到第三行时它都会运行一次。

遇到第二行的次数是多少次？

每次遇到第二行时，都会设置“i”的值。第三行使用的值运行多少次？因此，整体运行多少次？ （提示：如果我在几个不同的场合给你不同的金额，你怎么知道我给你的总金额？）

每次遇到第三行时，第四行都会发生一次。

哪条线最常出现？根据N？

，它经常发生的次数

Answer 5

因此，猜测你感兴趣的是总和++以及执行它的时间。

总和的最终统计数据会给你答案。

实际上你的循环只是：

Sigma（n）n从1变为N.

等于：N*(N+1) / 2这会给你一个大概念O(N^2)

除了问题名称旁边，算法中没有最坏的情况。 或者你可以说最坏的情况是当N变为无穷大时。

Answer 6

使用Sigma表示法表示您的循环：