Question

我有一个我正在尝试实现的算法。我被要求确定一个描述最坏情况下运行时间的函数。作为输入，它需要一些长度的数组（让我们称之为n）。那么它的作用如下：

if (n==0){ return 0;}
else if(n==1){return A[0];}
else{
     return f(n-1)+f(n-2)
}

很抱歉，如果我对实现细节有点稀疏，但从某种意义上说，它与fibbanoci序列非常类似。我认为这个算法的最坏情况运行时间是t（n）= 2 ^ n，因为如果n很大，它将分解为2个单独的计算，而这又将分成2个，依此类推。我只是不确定如何正式证明这个

Answer 1

让我们首先得到一个运行时间的递归。

T(0) = T(1) = 1

因为两者都只返回一个数字（一个是数组查找，但这也是常量时间）。对于n > 1我们有

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 1

因为您评估了f(n-1)和f(n-2)并添加了两个结果。这与Fibonacci序列本身几乎相同，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，结果密切相关。

 n | T(n) | F(n)
----------------
 0 |   1  |   0
 1 |   1  |   1
 2 |   3  |   1
 3 |   5  |   2
 4 |   9  |   3
 5 |  15  |   5
 6 |  25  |   8
 7 |  41  |  13
 8 |  67  |  21
 9 | 109  |  34
10 | 177  |  55
11 | 287  |  89

如果查看这些值，就会看到

T(n) = F(n+2) + F(n-1) - 1

并且可以通过归纳证明，如果你需要。

由于Fibonacci序列的术语由F(n) = (φ^n - (1-φ)^n)/√5给出，其中φ = (1 + √5)/2，f的复杂性也是Θ(φ^n)，如同斐波那契序列。这比Θ(2^n)更好，但仍然是指数级的，因此使用这种方式计算仅适用于小n。

最坏的情况下这个算法的运行时间（如何证明）？

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