最坏情况下该算法的下限运行时间

Question

我有一个算法如下：

甚至我有找到这个算法下限的anwser：

但问题是我无法理解这一点：当我们设置i＆gt; = n / 2但是n / 4＆lt; = j＆lt; = n / 2时，在这个算法中j不能得到任何值，但是你在答案中看到中间循环迭代n / 4？

我真的很困惑。

Answer 1

好的，我不确定你对哪一部分感到困惑，但让我从你的摘要中重新解释下限解释，也许，混淆部分会清理。

首先，下限方法（有点明显的东西，但在你的摘要中省略，对初学者来说可能是不明显的）。如果您想象（i，j，k）的所有可能值的集合，我们不希望将它们全部计算，但我们只计算它们的较小子集，由某些任意定义限制。事实证明，计算子集的下限比整个集合更容易（因为你可以做简单的数学运算，比如因为这些限制而乘以范围的下限），而且传统上，这也是整个集合的下限。 。

现在，这些任意限制选择以下内容： 1）只查看i值＆gt; = n / 2。这意味着，不是看[1..n]，而是看[n / 2..n]。 2）考虑到先前的限制，也限制j：查看范围[n / 4..n / 2]中的j值。文中的“考虑”一词适用于（1）和（2））。请注意，我们可以这样做的原因是[n / 4..n / 2]始终是[1..i]范围的子集，因为我们已经决定只查看i＆gt; = n /的情况2。因此，将[1..i]限制为[n / 4..n / 2]是正确的做法，以获得一些下限。

现在我们知道i是[n / 2..n]（至少n / 2），j是[n / 4..n / 2]（至少n / 4），有n /可能（i，j）对的2 * n / 4种组合。对于这些对中的每一对，内循环将至少进行n / 4-1次迭代（我不知道为什么-1，也许表示向下舍入？），因此我们得到n / 2 * n / 4 *（n / 4-1）（i，j，k）的元组是欧米茄（n ^ 3）。

如果一小部分变体是omega（n ^ 3），那么原始集合也是omega（n ^ 3）。

P.S。我不明白为什么你说“n / 4＆lt; = j＆lt; = n / 2然后在这个算法j中不能得到任何值”。 n / 4小于n / 2，因此对于足够大的n值，j范围将有一些数字。

Answer 2

在我看来，中间循环中的迭代次数应始终小于或等于内循环中的迭代次数，因为k总是从1到j。

以下是我走过循环的例子。

array[1,2,3,4,5]

will produce the following iterations with the restrictions on the loops:

i=3,j=2,k=1 //i starts at 3 because of n/2 minimum
            //j can't go below or above 2 because of condition on middle loop
i=3,j=2,k=2
i=4,j=2,k=1
i=4,j=2,k=2
i=5,j=2,k=1
i=5,j=2,k=2

3 iterations of outer loop (at least n/2)
1 iteration of middle loop for each outer loop iteration (NOT at least n/4)
2 iterations of inner loop for each iteration of middle loop (at least n/4 - 1)

文本可能刚刚交换了底部两个循环的描述。如果是这种情况，给出的答案仍然是正确的。

无论如何，重要的是要注意它在O（n ^ 3）时间运行。

Answer 3

您可以将循环中的迭代次数可视化为

for( i in [1..n] )
  for( j in [1..i] )
     statement;

as（对于n = 6）：

x 
x x 
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x

这会给你复杂性O(N*N)。 最内层循环（在您的样本中）中的迭代次数也是N依赖的，因此它将为您提供一个N乘数（第三维）。所以x es将填充1/32（？）的立方体积。但由于它是立方体形成，因此复杂性将为O（N³）