找到数字的素因子的以下算法的时间复杂度是多少？

Question

for (long i = 2; i <= number / i; i++) {
    while (number % i == 0) {
        number = number / i;
    }
}

上述代码的时间复杂度是多少，我该如何证明？

Answer 1

for (long i = 2; i <= number / i; i++) {
    while (number % i == 0) {
        number = number / i;
    }
}

可以写成

for (long i = 2; i * i <= number; i++) {
    while (number % i == 0) {
        number = number / i;
    }
}

或

for (long i = 2; i <= Math.sqrt(number); i++) {
    while (number % i == 0) {
        number = number / i;
    }
}

因此外部循环最多具有O（N ^0.5 ）次迭代（如果number不是素数，它将具有更少的迭代，因为内部循环将减少{{的值1}}在那种情况下）。

内部循环的所有迭代的操作总数是原始数字具有的素数因子的数量。如果原始数是2的幂（即它的所有素因子都是2），则原始数将具有最高数量的素因子，在这种情况下，它将具有log ₂ N个除法器。

由于log ₂ N＆lt;对于大多数N值，N ^0.5 ，总运行时间为O（N ^0.5 ）。

Answer 2

对于像（2 ^ m）（3 ^ n）（5 ^ o）...

这样的数字

时间复杂度为O（m + n + ...）或（数字素因子的最高幂之和）

Answer 3

我认为如果数字为素数则为O（n）