算法的渐近行为和Big O比较

Question

我对Big O表示法和算法的渐近行为的特定情况有点困惑。当我正在阅读描述这些符号的博客http://discrete.gr/complexity/时，我发现这个陈述是真是假：

O（n）算法是Θ（1）

答案说根据算法，这可能是也可能不是。在一般情况下，这是错误的。如果算法是Θ（1），那么肯定是O（n）。但如果它是O（n）那么它可能不是Θ（1）。例如，Θ（n）算法是O（n）但不是Θ（1）。

我正在努力理解这个答案。我知道Big O意味着程序可以渐近地变得更糟。所以我解释了上面的陈述，其中O（n）比Θ（1）更差并且是真的。

有人可以用一个例子来解释吗？

Answer 1

• 如果您知道任务只需要一周（= Θ(1)），那么您肯定可以说最多可以在一年内完成（= O(n)）。

• 如果您知道任务最多需要一年（= O(n)），则无法确定您是否会在一周内完成此任务（= Θ(1)）。

• 如果您知道任务只需要一年（= Θ(n)），那么您也可以说它最多需要一年（= O(n)），并且您确定它不能在一周内完成（≠ Θ(1)）。

Answer 2

考虑optimized bubble sort，它具有O（n ² ）的渐近紧上界，以及Ω（n）的渐近紧束下界（当数组已经排序时） ）。项目的排列决定了算法必须执行的操作数量。

对比整数列表。在这种情况下，您始终只需查看列表中的每个项目一次。上限为O（n），下限为Ω（n）。没有项目的安排会改变算法的复杂性。在这种情况下，当紧上限和下限相同时，我们说算法的复杂度是Θ（n）。

如果算法是Θ（n），那么复杂性将永远不会超过O（n），并且它永远不会小于O（n）。所以它不可能是O（1）或Θ（1）。

但是如果算法被描述为O（n），则可以是Ω（1）。例如，在整数列表中查找第一个非零值。如果列表中的第一项不为零，则您不必查看任何其他数字。但是，如果列表全部为零，则最终会查看所有列表。所以上限是O（n），下限是Ω（1）。

Answer 3

该示例基本上试图涵盖两个想法：

1. 如果算法为Θ(f(n))，则表示它同时为Ω(f(n))和O(f(n))。它渐近既不比f(n)更好也不差，它具有相同的渐近行为。
2. O(1)的函数可视为O(n)函数的子集。 这可以概括，但不需要在这里过于正式我想从我身边避免数学上不正确的灾难。这意味着如果它永远不会比常数更糟糕，那么它永远不会比线性函数更糟糕。

因此，我们的想法是将Θ分解为O和Ω符号。然后确定哪个是哪个子集。

另外值得注意的是，任何算法（至少具有非零复杂度）都是Ω(1)。算法永远不会比常量做得更好。

示例哺乳动物是人类。

答案：不，不是一般的。然而，所有人都是哺乳动物。人类是哺乳动物的子集

。

我试着想到另一个例子，但它太技术性或不够清晰。所以我会在这里留下这个不那么精美，但在这里清晰的图表。我通过谷歌搜索o omega theta并寻找图像。还有一些其他好的图像。



基本上，对于这个图中的每个函数f：它上面的任何东西都是Ω（f（n）），因为它永远不会比f好，当n增加时它永远不会低于它;低于它的任何东西都是O（f（n）），因为它永远不会比f更糟，当n增加时它永远不会高于它。

图表没有很好地显示常数渐近的微不足道。还有其他图表更好地显示它。我只是把它放在这里，因为它一次有很多功能。