Question

**这是一种用相当古老的语言（标准ML）实现的算法。我很难理解这个算法：

fun polyquotremd ts ((n,b) :: us) = 
    let fun quo [] qs = (rev qs, [])
        | quo ((m,a) :: ts) qs = 
            if m < n then (rev qs, (m,a) :: ts)
            else
                quo (polysum ts
                    (map (termproduct(m-n, ~a/b)) us))
                    ((m-n, a/b) :: qs)
    in
        quo ts []
    end;

这是目标。我们通过使用元组列表来密集地表示多项式，每个元组包含索引0处的幂和索引1处的系数。例如，$ x ^ 2 + 1 $表示为[(2, 1.0), (0, 1.0)]。这由类型(int*real)list给出，如下面的辅助函数所示。我们想要获得一个输出(quo, rem)，每个输出都是一个元组列表，分别表示商和余数。 ts是要分割的多项式，而us是除数。

以下是我想象算法的工作原理：

首先，如果ts = []表示我们没有多项式来划分，所以我们返回qs，我们的累积商数结果作为答案。由于我们继续将((m-n, a/b) :: qs)添加到qs列表的头部，我们需要反转列表以使列表以最大指数开头。
当除数的指数n大于我们正在处理的当前功率m时，第一个if条件处理这种情况。在这种情况下，我们只是不添加元素并返回(rev qs, (m,a) :: ts)，即(quo, rem)
其他条件是我感到困惑的部分。我知道第二个方括号((m-n, a/b) :: qs)是我们要添加的累积结果，但polysum ts (map (termproduct(m-n, ~a/b)) us))实际上在做什么？这背后的数学是什么？

通常，我们将多项式除数一次分开，即$ x + 1 $。但是这个算法首先使用$ x $，然后是$ 1 $。这怎么工作？为什么有~a/b（供您参考，意为-a/b）。

助手功能：

fun take ([], _) = []
| take (x::xs, i) = if i>0
then x :: take(xs, i-1)
else [];

fun drop ([], _) = []
| drop (x::xs, i) = if i>0 then drop(xs,i-1)
else x::xs;

fun termproduct (m,a) (n,b) = (m+n, a*b) : (int*real);

fun polyproduct [] us = []
    | polyproduct [(m,a)] us = map (termproduct(m,a)) us
    | polyproduct ts us =
    let 
        val k = length ts div 2
    in 
        polysum (polyproduct (take(ts,k)) us)
                (polyproduct (drop(ts,k)) us)
    end;

有人可以向我解释第3点吗？我很困惑，特别是通过算法的数学运算。但它的工作原理..这个代码编译，你可以用标准的ML测试它。

Answer 1

我认为您目前的理解大多是正确的，而且我不确定您在else分支中究竟有什么理解。

基本理念和不变性

为避免对名称阴影造成混淆，请ts0为传递给ts和polyquotremd = us0的{{1}}的值。然后，对于递归的每个步骤从外部上下文捕获((n,b) :: us)的{{1}}，除了最后一个，即由返回quo ts qs和us0分支处理的那些，以下不变量持有

quo [] qs = (rev qs, [])

换句话说，我们迭代地（通过递归）在答案（if m < n then (rev qs, (m,a) :: ts)）和新的ts0 = us0 * rev qs + ts中产生代表当前其余部分的最低权力。显然，如果我们可以通过此流程降低qs的最高功率，使其最高功效ts小于ts最高功率m，那么我们可以在us0和n。所以我们现在需要做的就是实际降低qs的最高功率。我们得到的只是标准long division算法。

长除法算法详情

长期分工的一个步骤如下：

对于红利（当前休息）ts和除数ts中的最高字词，即((m,a) :: ts)和((n,b) :: us)，请检查(m,a) 。如果是 - 完成算法。
将(n,b)除以m < n并找到他们的商数。这显然是(m,a)
乘以该商，即(n,b)乘以整数除数。请注意，这不是代码中的行。等一下，我们也会到那里。

Sidenote 或如何在代码中完成此操作。如果不清楚：map是一个经典的高阶函数，它接受另一个函数和一个集合，并返回相同大小的新集合，其中每个元素都是该函数应用的结果。相应的源元素。现在(m-n, -a/b)被称为partial application：它接受两个参数(map (termproduct(m-n, a/b)) ((n,b) :: us)))的函数并产生一个参数的新函数（原始函数中的第二个参数），第一个参数固定为值(termproduct(m-n, a/b))。因此整个结构如下所示：将termproduct（或代码中的(m-n, a/b)）的每个项乘以((n,b) :: us)。显然，这只是将多项式乘以单个项的一种方法。

从当前休息中减去此产品。我们可以通过在前一步骤上再乘以us来将此减法替换为和。所以现在是

(m-n, a/b)

现在我们可以注意到最高条款实际上会相互抵消。这并不奇怪，因为我们将乘数计算为它们的商，即完全如此，它们会相互抵消。所以现在我们可以删除它们并用代码中的那一行替换它：

-1

最后我们需要将(polysum ((m,a) :: ts) (map (termproduct(m-n, ~a/b)) ((n,b) :: us)))的这个商/乘数加到我们的结果多项式中。而唯一的小问题是我们以相反的顺序填写它，即我们首先找到最高项，下一个，依此类推。这在纸上工作正常，但ML中的列表以相反的顺序填充。这就是我们＆＃34;退出＆＃34;分支中包含(polysum ts (map (termproduct(m-n, ~a/b)) us))。

如果你想要一个例子 - 你可以在我上面提到的Polynomial long division上的wiki文章中关注一个。只是为了重新迭代：该算法的每一步都是(m-n, a/b)的另一个递归。

希望这会有所帮助。如果有些事情仍然不明确，请告诉我。

更新（回复评论）

我还没有完全了解~a / b将如何相互抵消。

首先，您是否尝试过我上面引用的example in the wiki？如果是这样，那里到底有什么不清楚的？

回到你的问题，有几种方法来看待它。从纯粹的机械观点来看，这里的问题是：rev qs的结果是什么？显然它是quo = termproduct (m-n, ~a/b) (n,b)。所以这与(m-n + n, ~a/b*b)中的最高词完全相反。

从算法的更高级别，他们将完全取消，因为我们计算乘数(m, -a)的唯一目的是他们取消。您似乎没有得到我在＆＃34; 基本理念和不变量 ＆＃34;中所描述的内容。部分，我不确定我能以不同的方式重申它，但我会尝试。分裂可能被视为一次减法多次与反击我们做了多少次。如果我们这样看，很明显我们应该尝试减去除数的一些乘法，以抵消除数的最高项。

示例1：假设我们将ts除以(m-n, ~a/b)。如果我们要删除2*x^2 + 3*x + 4项，我们必须将除数乘以x^2 + x + 1然后减去。因此，结果为商= 2*x^2，其余为2 = 2。

示例2：假设我们将2*x^2 + 3*x + 4 - 2*(x^2 + x + 1)除以x + 2。请注意，虽然除数与previos示例不同，但我们仍需将其乘以2*x^2 + 3*x + 4以移除被除数中的最高项。这是因为决定这种倍增的唯一因素是最高项的比例。 Obvioulsy其他术语影响最终结果（休息），但它们不影响结果的当前术语。请注意，结果仍为商数= x^2 + 2*x + 3，但其余为2 = 2

示例3：让2*x^2 + 3*x + 4 - 2*(x^2 + 2*x + 3)和-x - 2划分2*x^3+3*x^2以查看差异。请注意，要取消x+1，我们的第一个乘数（即商中的最高项）在两种情况下均应相同x+2 = x^3 所以2*x^3/x我们得到了

2*x^2

同样适用于x+1：

x+1: 2*x^3+3*x^2 = 2*x^2*(x+1) + (2*x^3+3*x^2) - 2*x^2*(x+1) = 2*x^2*(x+1) + x^2

从现在开始，结果会有所不同，因为我们继续使用x+2的{{1}}和x+2: 2*x^3+3*x^2 = 2*x^2*(x+2) + (2*x^3+3*x^2) - 2*x^2*(x+2) = 2*x^2*(x+2) - x^2 +x^2的不同中间休息x+1。这意味着下一个乘数将是-x^2 = x+2和+x^2/x = +x

-x^2/x

现在，-x =＆gt;的最后一步是x+1: 2*x^3+3*x^2 = (2*x^2+x)*(x+1) + x^2 - x*(x+1) = (2*x^2+x)*(x+1) - x x+2: 2*x^3+3*x^2 = (2*x^2-x)*(x+2) - x^2 - (-x)*(x+2) = (2*x^2-x)*(x+2) + 2*x。乘数为-x，x+1为-1 =＆gt;乘数为2*x

x+2

再次，您可以看到除数的非最高项的变化会影响结果，但不影响结果的最高项。

在函数式语言中理解这种多项式除法算法

1 个答案: